使用主定理不适用的指数规则求解递归

Question

我正在尝试解决以下重复：

$T(n) = 3T(n^{\frac{2}{3}}) + \log n$

但我不知道该怎么做，因为主定理不适用。我尝试如下绘制递归树：

但不确定从那里去哪里，例如试图找出树的高度或最后一层中的节点数。任何有关如何找到复发的整体大 theta 的指导将不胜感激。

Answer 1

当您扩展公式时，我们将有：

T(n) = 3 log(n^{2/3}) +‌ 3^2 log(n^((2/3)^2)) + ... + 3^k log(n^((2/3)^k)) + log(n)

在上面的等式中，k 是树的高度。如果我们假设n = 2 ^ ((3/2)^k)，最后我们将在n^((2/3)^k) 中拥有2。因此，k = log_{3/2)(log(n))。另外，我们知道log(n^a) = a log(n)：

T(n) = 2 log(n) + 2^2 log(n) + ... + 2^k log(n) + log(n) = 
         log(n) (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^k) =
         (2^(k+1) - 1) log(n)

因此，2^k = O(log^2(n))，T(n) = O(log^2(n) * log(n)) = \O(log^3(n))。