快速回答子数组查询的高效算法

Question

前几天遇到了一个查询相关的问题，但是解决不了。

给定一个包含 N 个整数和一个正整数 M 的数组，您必须回答 Q 个查询。每个查询的特征是 ( i , j )，其中 i 和 j 是数组的每个索引。在每个查询中，您必须回答存在多少对（ r ， s ）使得

1. i r s j
2. 索引在 [ r , s ] 中的数组元素之和可被 M 整除。

限制：

N <= 50,000
Q <= 50,000
M <= 100

我有一个动态编程解决方案，可以预处理 O( N^2 ) 中的每个查询（ r ， s ），但那是不够快。有没有更有效的解决方案？我对 Mo 的算法或分段树有一些想法，但我无法得到它。

Answer 1

1. 计算每个 i = 1..N 的原始数组的前缀总和（假设它是从 1 开始的）。
   
   Sum[r] 和 Sum[s] 对于任意两个索引 r 和 s 的等价性，其中 r < s 意味着具有 [r+1, s] 中的索引的数组元素的总和可以被 M 整除（我们需要计算区间内等价的数量）。这一步的时间复杂度为O(N)。
   
   

2. 为每个 i = 1..N, j = 0..M-1 预先计算数组 Count：
   Count[i][j] 存储Sum[len]（其中len <= i）等于j 的次数。这一步的时间复杂度是O(N*M)。
   
   

3. 对于每个查询(i, j)，答案将等于：
   对于余数k 的每个可能值，我们发现D(k) - 在区间[i, j] 内Sum[len] 等于k 的次数。然后我们将所有可能的D(k) 区间边界对的数量添加到结果中，即D(k)*(D(k)-1)/2。时间复杂度：O(M) 用于每个查询。
   
   

复杂性：O(N) + O(N*M) + O(Q*M) = O((Q+N)*M)，对于给定的约束条件是可以的。

Answer 2

首先请注意，对于任何子数组 (r, s)，其总和为 M 的倍数：

sum(r, s) == sum(i, s) - sum(i, r - 1)

          == (qa * M + ra) - (qb * M + rb)

其中ra 和rb 都小于M 并且大于或等于0（即分别除以M 后的余数）。

现在sum(r, s) 可以被M 整除，所以除以M 后的余数是0。因此：

ra == rb

如果我们在将子数组(i, i)、(i, i + 1)、...、(i, j) 除以M 之后计算所有余数，则为r1、r2、...、rj然后将所有这些的计数存储在大小为M 的数组R 中，以便R[k] 是等于k 的余数，然后：

R[0] == the number of subarrays starting at i that are divisible by M

对于每个k >= 0 和k < M 这样R[k] > 1 我们可以计算R[k] 选择2：

(R[k] * (R[k] - 1)) / 2

不以i 开始的子数组可以被M 整除。

创建和汇总所有这些值可以为每个 (r, s) 查询提供 O( N + M ) 的答案。