为什么开花算法比 Micali-Vazirani 算法更好用

Question

据了解，Micali-Vazirani 算法 (1980) 在时间复杂度上显着优于开花算法 (1961)（Micali-Vazirani 是 O(V^{1/2} E)，Bloom 是 O(V^2 E)一般图中的最大基数匹配。然而，即使在最近（1），开花似乎也得到了更广泛的使用。即使是旨在解决这些问题的包也实现了在 Micali-Vazirani 上开花（1）。这是为什么呢？

Answer 1

Micali-Vazirani 不支持权重，您从networkx 链接的例程用于查找最大权重 匹配。如果你的图是二分图并且你不需要权重，人们也会求助于更简单的 Hopcroft-Karp，它与 Micali-Vazirani 的界相匹配，这也阻碍了它的流行。我认为，主要障碍是实施 Micali-Vazirani 的复杂性。

最大权重匹配的完全无条件状态并不比 Edmonds O(mn²) 好多少，有来自Data structures for weighted matching and nearest common ancestors with linking 的 1990 年算法由 HN Gabow 在 O(mn + n² log n) 中解决。但是在这么小的加速下，算法和常数因子规则的实现很简单。

如果您对近似值满意，那么 Ran Duan 和 Seth Pettie 在 2014 年的论文 Linear-Time Approximation for Maximum Weight Matching 中发现了一个有趣的复杂性（也包含一个很好的算法调查），它可以解决 O(m/ɛ log (1/ɛ)) 时间用于 (1-ɛ) 近似。也就是说，如果您可以接受匹配的权重，例如最大权重匹配的 10%，您将获得 O(m) 复杂度。