唯一最小生成树充要条件答案

【问题标题】：unique minimum spanning tree sufficient and necessary conditions唯一最小生成树充要条件
【发布时间】：2016-12-16 20:43:28
【问题描述】：

给定一个图G，使这个图有唯一的最小生成树的充分必要条件是什么？另外，如何证明这些条件？

到目前为止，我发现这些条件是：

1)对于将V(G)划分为两个子集的每个子集，每个子集中具有一个端点的最小权重边是唯一的。

2)G的任意循环中最大权重边是唯一的。

但我不确定这是否正确。即使这是正确的，我也无法证明它的正确性。

【问题讨论】：

Computer Science Stack Exchange 是发布此问题的更好地方。
其实在Computer Science Stak Exchange上已经有人问过了，可惜没有得到答复。
然后试试Mathematics Stack Exchange。
另外，根据 this question on the CS-SE 的 cmets，这些条件似乎不充分且必要，问题应该是“证明或反驳”而不是“证明。”
@hatchet，我知道你只是想帮助这个用户，但是对于未来，如果你要推荐另一个网站，你能提醒用户避免交叉发布吗？您可以建议他们先删除此处的副本，然后再发布到其他地方。这将有助于确保为他们提供更好的体验。此外，您知道，CS.SE 对问题质量有一定的期望：我们希望人们在提出练习式问题时向我们展示他们迄今为止取得了哪些进展以及他们在哪里卡住了，并提出了一个关于练习的具体问题.见cs.meta.stackexchange.com/q/1284/755。

标签： graph proof minimum-spanning-tree

【解决方案1】：

实际上，唯一的MST是有一个充要条件。在A First Course In Graph Theory一书中，作为练习给出：

练习 4.30

令 G 是一个连通的加权图，T 是 G 的最小生成树。证明 T 是 G 的唯一最小生成树当且仅当 G 中不在 T 中的每条边 e 的权重超过权重在 T+e 中循环上的所有其他边。

我写我的证明here。

【讨论】：

【解决方案2】：

这是错误的，因为至少第一个条件不是必需的。证明是反例（source）。

将 G 视为所有边权重均为 1 的任何树。那么 G 有唯一的 MST（本身），但任何具有多个边缘的分区穿过它有几个最小权重边缘。

编辑：

针对您修改后的问题...

MST 的唯一性有一个众所周知的充分（但不是必要）条件：

如果连通图中每条边的权重不同，则该图恰好包含一个（唯一的）最小生成树。

证明如下（source）：

为了矛盾起见，假设有两个不同的 MST G，比如说 T1 和 T2。令 e = v-w 是 G 的最小权重边缘 T1 或 T2 之一，但不是两者。假设 e 在 T1 中。将 e 添加到 T2 创建一个循环 C。在 C 中至少有一条边，比如 f，它是不在 T1 中（否则 T1 将是循环的）。通过我们对 e 的选择，w(e) ≤ w(f)。由于所有边缘权重都是不同的，因此 w(e)

但是，关于 MST 唯一性的“充分和必要”条件，我认为不存在已知的任何条件。

【讨论】：