如何编写最大集打包算法？

Question

假设我们有一个有限集 S 和一个 S 的子集列表。然后，集合打包问题询问列表中的一些 k 子集是否成对不相交。 该问题的优化版本，最大集打包，要求列表中成对不相交集的最大数量。

http://en.wikipedia.org/wiki/Set_packing

那么，让S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

and `Sa = {1,2,3,4}`
and `Sb = {4,5,6}`
and `Sc = {5,6,7,8}`
and `Sd = {9,10}`

那么成对不相交集的最大数量为3（Sa, Sc, Sd）

我找不到任何有关所涉及算法的文章。你能解释一下吗？

我的做法：

根据大小对集合进行排序。从最小尺寸的集合开始。如果下一个集合中没有元素与当前集合相交，那么我们将集合合并并增加最大集合的计数。这听起来不错吗？有更好的想法吗？

Answer 1

正如 hivert 所指出的，这个问题是 NP-hard，所以没有有效的方法来解决这个问题。但是，如果您的输入相对较小，您仍然可以将其关闭。毕竟，指数并不意味着不可能。只是随着输入大小的增长，指数问题很快变得不切实际。但是对于像 25 组这样的东西，你可以很容易地暴力破解它。

这是一种方法。假设您有 n 个子集，称为 S0、S1、...等。我们可以尝试每个子集组合，然后选择一个具有最大基数的。只有 2^25 = 33554432 个选择，所以这可能足够合理。

做到这一点的一个简单方法是注意任何严格低于 2^N 的非负数都表示子集的特定选择。查看数字的二进制表示，并选择其索引对应于打开的位的集合。因此，如果数字为 11，则第 0、第 1 和第 3 位为 on，这对应于组合 [S0, S1, S3]。然后您只需验证这三个集合实际上是不相交的。

您的程序如下：

1. 迭代 i 从 0 到 2^N - 1
2. 对于 i 的每个值，使用打开的位来计算子集的相应组合。
3. 如果这些子集是成对不相交的，请使用此组合更新您的最佳答案（即，如果它大于您当前的最佳答案，则使用它）。

或者，使用回溯来生成您的子集。这两种方法是等效的，模实现权衡。回溯会产生一些堆栈开销，但如果您在进行过程中检查不相交性，则可能会切断整条计算线。例如，如果 S1 和 S2 不是不相交的，那么它将永远不会打扰包含这两个的任何更大的组合，从而节省一些时间。迭代法无法通过这种方式进行自身优化，但由于位运算和紧密循环，快速高效。

这里唯一重要的是如何检查子集是否成对不相交。您也可以在这里使用各种技巧，具体取决于约束条件。

一种简单的方法是从一个空集合结构开始（从您选择的语言中选择任何您想要的），然后从每个子集中逐个添加元素。如果你碰到了一个已经在集合中的元素，那么它至少出现在两个子集中，你可以放弃这个组合。

如果原集合S有m个元素，而m比较小，可以将它们每一个映射到范围[0 , m-1] 并为每个集合使用位掩码。所以如果m ，你可以用一个Java long 来表示每个子集。打开与子集中元素对应的所有位。由于按位运算的速度，这允许极快的设置操作。按位与对应集合交集，按位或是并集。您可以通过查看交集是否为空来检查两个子集是否不相交（即，对两个位掩码进行 AND 运算会得到 0）。

如果你没有这么少的元素，你仍然可以避免多次重复设置的交集。你的集合很少，所以在开始时预先计算哪些是不相交的。您可以只存储一个布尔矩阵 D，使得 D[i][j] = true 如果 i 和 j 不相交。然后，您只需查找组合中的所有对来验证成对的不相交性，而不是进行真正的集合操作。

Answer 2

您可以通过搜索Maximum independent set 来解决集装问题。您将问题编码如下：

• 为每个集合放置一个顶点
• 如果两个顶点的编号相同，则在它们之间放置一条边。

那么如果没有两个具有两个相关顶点的顶点，您就不会有一个最大的顶点集。不幸的是，这是一个 NP-Hard 问题。任何已知的算法都是指数的。