关于网络流量均衡属性

Question

我正在阅读 Robert Sedwicks 关于图形算法的书中有关网络流算法的内容。以下是书中的文字 sn-p。

属性：任何 st-flow 都具有从 s 流出的属性等于 流入 t。

证明：将网络与虚拟顶点的边增强为 s， 流量和容量等于“s”的流出量，并且有一条边 从“t”到另一个虚拟顶点，流量和容量等于 流入“t”。然后，我们可以证明一个更一般的性质 归纳：任何顶点集的流入等于流出（不是 包括虚拟顶点）。

根据局部平衡，此属性对于任何单个顶点都是正确的。 现在，假设对于给定的一组顶点“S”是真的，并且 我们添加一个顶点“v”来使集合 S1 = S U {v}。计算 S1 的流入和流出，注意从“v”到某个顶点的每条边 在 S 中减少流出（来自 V）的量与减少流入量相同 （对 S）；从 S 中的某个顶点到 v 的每条边减少流入（到 v） 与减少流出量相同的量（来自 S）；和所有其他边缘 当且仅当他们为 S 或 v 这样做时，才为 S1 提供流入或流出。 因此，对于 S1，流入和流出是相等的，并且流量的值 等于 v 和 S 的流值之和减去 将 v 连接到 S 中的顶点的边上的流（要么 方向）。

将此属性应用于所有网络顶点的集合，我们 发现源从其关联的虚拟顶点的流入是 等于水槽到山雀联合虚拟顶点的流出量。

我对上述证明的问题：

1. 作者所说的“从“v”到 S 中某个顶点的每条边减少流出（从 V）的量与减少流入（到 S）的量相同”是什么意思？ 谁能用简单的例子解释一下。

2. 作者所说的“从 S 中的某个顶点到 v 的每条边减少流入（到 v）的量与减少流出（从 S）的量相同； 并且所有其他边缘为 S1 提供流入或流出当且仅当它们为 S 或 v 这样做时”？请用简单的例子解释。

3. 作者所说的“流入和流出对于S1来说是相等的，并且流的值是什么意思 等于 v 和 S 的流的值之和减去连接 v 到 S 中的顶点（任一方向）的边上的流之和。”？请举例说明。

谢谢！

Answer 1

该段落写得不是很好，但如果我说得对，简而言之，作者的意思是从 v 到 S 的一个顶点（命名这个顶点 t）的流向 v 的流出增加了给定的值，但它也增加了相同值的 t 流入。因此，添加这样一条边，我们仍然可以使总流入等于总流出。类似地，对于从 S 到 v 的顶点的边，我们将 v 的流入和 S 中顶点的流出增加相同的值。所有其他边连接来自 S 的两个顶点，并且通过归纳假设，它们的总流入等于它们的总流出。请注意，我使用“增加流出”而不是减少顶点 v 的流出，因为这对我来说似乎更自然。 我不敢猜测作者倒数第二段最后一句是什么意思。

希望至少有一点帮助。

我相信有些书似乎可以更好地解释这个特定定理，例如 Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest、Clifford Stein 所写的“算法简介”。