使用联合查找（又名不相交集）检测图是否为二分图

Question

我在 Spoj 上做一个问题，基本上可以简化为检测一个图是否是二分图。我正在尝试使用 dfs 为图形着色，但它太慢了。有些人会这样做

没有 bfs，没有 dfs，没有二方图。简单的 Union-Find Set 会成功（确实是速度）。 提示 #1： 偶数长度的循环不会影响两个节点之间的路径长度被 2 整除（哇，一个词中有这么多 i）。 提示 #2： （剧透） 令 dist[i] 为从 i 到 parent[i] 的路径的距离。使用 find 和 union 函数更新它。可以改进使 dist 成为 bool 数组。

有人能解释一下他的意思吗？我认为他想说的是，对于每个节点，您存储节点和代表元素之间的距离。然后，如果您尝试合并同一集合中的两个节点，并且如果它们具有相同的奇偶性，那么您将创建一个奇数循环，因此该图不能是二分的。但是，我不明白这将如何实现。如何在考虑距离的同时合并两组？您是否不必浏览整个集合以找到要更新的所有元素？

问题链接：https://www.spoj.com/problems/BUGLIFE/

Answer 1

给定一个表示为邻接列表（即边列表）的图，您可以确定它是否是二分图，如下所示：

• 初始化一个不相交集数据结构SETS，为每个顶点设置一个单例集。 （如果两个顶点之间有一条等长路径，那么我们最终会将这两个顶点统一到同一个集合中，除非我们先返回 ꜰᴀʟꜱᴇ。）
• 初始化从每个顶点到ɴɪʟ的映射MAP。 （当我们检查边时，我们将使用从每个顶点到其邻居之一的映射来填充 MAP。）
• 对于每条边 {u, v}：
  • 如果u和v属于SETS中的同一个集合，则返回ꜰᴀʟꜱᴇ。
  • 如果 MAP[u] = ɴɪʟ，设置 MAP[u] := v 。
    否则，更新 SETS 以将 v 与 MAP[u] 统一。
  • 如果 MAP[v] = ɴɪʟ，设置 MAP[v] := u 。
    否则，更新 SETS 以将 u 与 MAP[v] 统一。
• 返回ᴛʀᴜᴇ。