将无向图转换为具有特定条件的有向图答案

【问题标题】：Convert undirected graph to directed graph with specific condition将无向图转换为具有特定条件的有向图
【发布时间】：2018-12-09 04:33:22
【问题描述】：

给定无向图，它有 M 条边和 N 个顶点，我们必须将每条边从 u-v 转换为 u->v 或 v->u，这样每个顶点的入度都是偶数。哪种方法或算法适合最少的时间复杂性。

【问题讨论】：

您的图表有多大？ M和N的极限是多少？我认为这个问题更适合cs.stackexchange.com 此外，如果你能解释你的问题和你的尝试，这将有很大帮助。到目前为止，您似乎只是希望有人为您做作业:) 请编辑此问题并提供更多详细信息。
M 和 N 是从 1 到 100,000。我制作了一个邻接列表，它跟踪到达特定顶点的所有边，这意味着如果 1->2,3->2,4->2 则 2 的邻接列表将是 {1,3,4} 所以如果大小邻接列表的每个顶点都是偶数，那么即使使用while循环，我也会知道我制作的每条边的方向，只有当每个顶点都具有偶数时，while循环才会终止。并且每次while循环都会在那些大小奇数的邻接列表中改变方向

标签： algorithm graph graph-theory directed-graph undirected-graph

【解决方案1】：

这是一种不同的方法 - 我认为您不想在 n=100,000 的情况下进行高斯消元，因此我在网络上搜索了相关问题。

如果图有多个连通分量，可以分别考虑，假设它只有一个。

在您的组件上构建一个生成树并将其中一个顶点标记为该树的根。修复边缘的方向，而不是你喜欢的生成树。从叶子开始，一次取一个顶点，在处理该顶点之前处理该顶点的所有子节点。对于每个顶点，选择树边缘到其父节点的方向，以便其自身的度数是偶数，并忽略其父节点的后果。除根外的每个顶点都有一条与父节点相连的边，因此对于除根外的每个顶点，您都可以确保其入度是偶数。

当你来到根时，你没有任何可以改变方向的边，所以你不能改变它的入度，这显然是偶数或奇数。如果它甚至一切都很好 - 每个顶点都有均匀的度数。如果它是奇数，则您有一个顶点的度数为奇数，而所有其他顶点的度数为偶数，因此所有度数的总和为奇数。但是所有入度的总和只是图中的边数，您无法更改。如果图中的边数是奇数，总会有至少一个顶点的度数为奇数，无论如何这个问题是不可能的。

【讨论】：

非常感谢我了解解决方案

【解决方案2】：

你可以这样做 --> 唯一需要做的改变是，在做拓扑之前做 MST

https://www.geeksforgeeks.org/assign-directions-to-edges-so-that-the-directed-graph-remains-acyclic/

【讨论】：

【解决方案3】：

给每条边一个任意方向，并创建一个变量（目前未知），说明该边的方向是否需要改变。

对于每个顶点，一条边根据 x 或 1^x 传入，其中 x 是该边的未知数，1^x 是 1 XOR x = NOT x，具体取决于分配给该边的原始方向是否为是否朝向那个顶点。

对于每个顶点，即使将这些等式的结果异或的结果为 0，输入边的数量也是如此 - 这与将它们加在一起 mod 2 的结果为 0 相同。

所以你有一个线性方程组 mod 2，这和二元线性方程组是一样的，你可以使用高斯消元法来看看是否有解。

（可能有一种更符合图论的方法，但我认为这是一种解决方案）。

【讨论】：