我必须给出一个算法如下：
给定一个无向连通图 G，给出一个算法，找到两个节点 x,y，使得它们的距离至少是图直径的一半。证明任何主张。
我假设我必须从任意节点运行 BFS 并找到其最远的节点才能找到直径。然后找到两个距离大于直径一半的已探索节点。 但我怀疑这是最优的并要求解决方案。在运行 BFS 查找直径时，是否有其他方法可以同时找到这两个所需节点？所以复杂度仍然是多项式的。 任何指导或提示将不胜感激！
【问题讨论】：
标签： algorithm graph undirected-graph
图的直径（我们称之为D）是其任何节点之间的最大距离（= 最小跳数）。
选择任何节点并执行 BFS，同时为每个节点保留从初始节点开始的跃点数。这需要 O(V)，因为您将只访问所有节点一次。请注意，此 number of hops 也是 shortest distance to v from the root - 我将其称为 d(root, v)。
现在，从您的根中取出具有最多跳数的叶子 z。恭喜d(root, z) >= D/2，因为
引理：对于直径为D的连通图中的任何节点x，必须存在一个至少距离D/2很远的节点y。
证明：如果不是这样，那么会有一些节点x，因此对于所有y、d(x,y) = D/2 - k <= D/2（带有k>=1）。但是，通过x，我们最多可以在2 * (D/2 - k) = D - 2k中找到从任何节点到所有其他节点的路径——因此，图的直径不能是D，而是D - 2k。
【讨论】：
这实际上是一个棘手的问题，但我想我明白了。有趣的是，您部分错误的解决方案让我走上了正确的道路。
让我们在这里复制几个定义：
v 的偏心率是v 与任何其他顶点之间的最大距离d 是图中任意顶点的最大偏心率。也就是说，d 是任意一对顶点之间的最大距离真正的问题是实际找到直径，这不是一件容易的事。要找到直径，您不能只选择任何节点并运行 BFS - 在这种情况下，您只需找到与该节点（偏心率）距离最大的节点，但它不是直径。要真正找到直径，您必须从每个节点运行 BFS（=find eccentricity），并且您获得的最大距离是直径（有一些更好的算法，但正如我所说 - 这不是简单的任务）。
但是！你根本不需要知道直径。如果您实际上从随机节点运行 BFS，并且您找到了距离最高（偏心率）的节点 - 这就是您算法的解决方案。 x 将是您的起始节点，y 将是距离最远的节点。
为什么？如果你想象这样的超级简单的图表
您可以看到直径介于节点 1 和节点 4 之间。因此，无论您从哪个点运行 BFS，该点都必须在中间（这意味着它将有一半的直径）或不在中间，然后距离最大的节点的距离必须比直径的一半还要大。
如果您选择 6 或 7，它的直径路径不完全一致（因为最大距离在 1-2-3-4-5 之间），但这意味着您可以获得更高的距离，这对您的任务来说很好.
结果：从随机节点运行BFS，当它结束时，取离起始节点最远的节点（=找到偏心并记住最远的节点），起始和“结束”节点是(x,y)
【讨论】：