以下算法的最佳情况时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What is the best case time complexity of the following algorithm?以下算法的最佳情况时间复杂度是多少？
【发布时间】：2021-03-18 05:06:59
【问题描述】：

我得到以下函数，其中g 是在 Θ(n²) 中运行的其他函数。这个函数的最佳时间复杂度是多少？

void f(int n) {
  if(n % 2 == 0) {
    return;
  } else {
    g(n);
  }
}

很明显，如果 n 是偶数，函数会在恒定时间内运行，这让我说 Θ(1)，但我认为这不是正确答案，因为我不认为这是定义渐近紧界的方式.

我在 SO 上查看了很多关于大 theta 表示法和最佳案例分析的类似问题，但它们都与长度为 n 输入的数组有关，而不仅仅是一个整数。我认为最好的案例分析在这些情况下是有意义的，因为它取决于数组中的元素。

但是，对于这个问题，除了g 之外，在确定复杂性方面似乎没有类似的“数组中的元素”，其复杂性是固定的。

这使我得出结论，实际的最佳情况时间复杂度是 Θ(n²)。我的理解正确吗？是 Θ(n²) 还是 Θ(1)？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您似乎对Θ 表示法的用法很困惑。

我不认为这是正确的答案，因为我不认为那是如何定义渐近紧界。

Θ 表示法是一个渐近紧界，它可以定义为：

For any two functions f(n) and g(n), we have f(n) = Θ(g(n) if and only if
f(n) = O(g(n)) and f(n) = Ω(g(n)).

O 表示法给出一个渐近上界，Ω 表示法给出一个渐近下界。

在您提供的算法中，

 void f(int n) 
 {
     if(n % 2 == 0) return;
     else g(n);
 }

g(n) = Θ(n²).

算法的运行时间属于O(n²)和Ω(1)。 我们不能使用Θ 符号来描述您的算法的运行时间 如果我们正在考虑所有可能的 n 值。 p>

但是，如果我们看一下算法的运行时间，当 n 可以取的唯一值是偶数时，这是 最好的情况，那么我们可以说在最好的情况下，算法的运行时间属于O(1)和Ω(1)。因此，我们可以说算法的最佳情况复杂度是Θ(1)。

请注意说之间的区别，

The running time of the algorithm is Θ(1). //Wrong in this case

和

The best case running time of the algorithm is Θ(1). //Correct in this case

类似地，如果我们在 n 唯一可以取的值是奇数时查看算法的运行时间，那么我们会发现 算法的最坏情况复杂度是Θ(n²)。

希望对你有所帮助。

【讨论】：

不。算法的最佳情况运行时间在 Θ(1) 和 Θ(n²) 之间交替，因此不能是其中任何一个。它是 Ω(1) 和 O(n²)。
@YvesDaoust 算法的运行时间在O(n²)和Ω(1)之间交替和不是 最佳情况运行算法的时间在 Θ(1) 和 Θ(n²) 之间交替。算法的最佳运行时间发生在 n 为偶数且为 Θ(1) 时。
这是你错的地方。对于偶数 n，运行时间是 Θ(1)，也是 Ω(1) 和 O(1)。因此，最好的情况时间也是 perforce Ω(1)、Θ(1) 和 O(1)（最坏的情况也是如此）。对于奇数 n，将 1 替换为 n²。
我确实拒绝了。它不是 O(1)，因为对于奇数 n，它是 Ω(n²)。
@YvesDaoust 当n 是偶数时，我们不关心算法的最佳情况和最坏情况运行时间。同样，当n 为奇数时，我们不关心算法的最佳情况和最坏情况运行时间。不管n是什么，我们都不关心算法的最佳情况和最坏情况的运行时间。

【解决方案2】：

我不同意@aksingh 的回答。

从给定的，

其实这三个时间没有区别（在渐近意义上），因为Θ。

请务必注意，描述这些运行时间的函数不必是“单个表达式”。

如果您想获得不依赖于奇偶校验的结果，您可以写出最佳、最差和普通情况运行时间是Ω(1) 和O(n²)。

为了说明，该图显示了一些假设的运行时间（红点）。在绿色和洋红色中，最好和最坏的情况是奇数n。蓝色，甚至是n。

现在是灰色，最好的情况函数。

【讨论】：