具有作业之间时间的动态编程间隔调度

Question

我正在尝试使用动态编程对间隔调度问题进行编程。所有工作都有不同的（正）权重并且不重叠。这些权重代表不同的运行时间。作业之间可能存在三个“间隙”的空闲时间。此外，每个作业的每个时间单位（以秒为单位）占用一个资源。资源都可以具有不同的值。我想使用动态编程算法（递归）找到所有作业的最小资源总和。

举个例子可能会更清楚：

假设您有三个time units { 2, 2, 3 } 的工作，并且您有一个包含八个长 { 2, 5, 1, 8, 4, 1, 1, 5 } 的资源列表。作业一需要两个时间单位，因此需要两个资源，因为它是第一个作业，它将占用资源列表的前 2 个资源。工作二不必在工作一之后立即开始，它也可以从接下来的三个“间隙”之一开始。第二个工作也需要两个资源，因为它可以从三个差距之一开始，而不是第一个工作，它可以利用的资源的可能性是(1,8) (8,4) (4,1) (1,1) = 9 12 5 2（可用资源的不同总和）。所有工作的总和当然小于资源的数量。

这会一直持续到所有作业完成为止。我想使用动态编程算法（递归）找到所有作业的最小资源总和。

我尝试了不同的求解方法，但我发现在没有任何其他函数的情况下很难递归求解。

我确实写了以下代码，但没有达到我的预期：

public static double getCost(int t, int q, int r, int[] jobs, double[] resources){
    double table[][] = new double[t+1][r+1];
    for(int i = 0;i < t;i++){
        for(int j = 0;j < r;j++){
            double cost = 0;
            for(int k = j-jobs[i] + 1;k <= j;k++){
                if(k < 0){
                    break;
                }
                cost = cost + resources[k];
            }
            double min = Double.POSITIVE_INFINITY;
            for(int l = 1;l <= q;l++){
                if(i == 0 && l == 1){
                    min = cost+j-jobs[0]-l;
                }
                else{
                    double neww = cost+j-jobs[i]-l;
                    if(neww < min){
                        min = neww;
                    } 
                }
            }
            table[i+1][j+1] = min;
        }
    }
    return table[t][r];
}

有人可以给我一些建议吗？

Answer 1

首先，你需要为每个子问题定义状态，所以：

sum[t][r] = Minimum cost using up to 't' indexes in 'timeUnits',
            and 'r' indexes in 'resources' (exclusive indexes).

基本情况是：

sum[0][0] = 0

然后根据之前的值更新数组值。有两件事需要计算：运行作业的成本，以及将其添加到的内容（差距大小）。

For each t
  For each r
    cost = Sum(resources[i]) for i = r-timeUnits[t]+1 ... r
    sum[t+1][r+1] = Min(cost + sum[t][r-timeUnits[t]-gap+1]) for gap = 0 ... 2 (0 only for t=0)

最终成本是使用所有时间单位的最小值。

编辑：我修改了您的代码，使其通过了您的测试用例。

int[] jobs = { 2, 2, 2 };
int[] resources = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1 };
int q = 2;
int t = jobs.length;
int r = resources.length;

double table[][] = new double[t+1][r+1];

for(int i = 0;i <= t;i++){
    for(int j = 0;j <= r;j++){
        table[i][j] = Double.POSITIVE_INFINITY;
    }
}
table[0][0] = 0;

for(int i = 0;i < t;i++){
    for(int j = 0;j < r;j++){
        double cost = 0;
        for(int k = j-jobs[i] + 1;k <= j;k++){
            if(k < 0){
                cost = Double.POSITIVE_INFINITY;
                break;
            }
            cost = cost + resources[k];
        }

        double min = Double.POSITIVE_INFINITY;
        for(int l = 0;l <= q;l++) {
            int index = j-jobs[i]-l+1;
            if(index >= 0 && index <= r) {
                min = Math.min(min, cost + table[i][index]);
            }
            if(i == 0) break;
        }

        table[i+1][j+1] = min;
    }
}

double best = Double.POSITIVE_INFINITY;
for(int x = 0; x < r; x++) {
    best = Math.min(best, table[t][x+1]);
}

System.out.println("Best cost: " + best);

Answer 2

http://www.cse.psu.edu/~asmith/courses/cse565/F10/www/lec-notes/CSE565-F10-Lec-13-dyn-prog-intro.pptx.pdf

这将为问题提供明确的解决方案