如何计算此计数算法语句块的频率？

Question

所以我从《算法第 4 版》一书中得到了这个计数算法，该算法在算法分析一章中使用，它们计算每个循环的频率、内部循环中的 if 语句以及开始时的声明。

他们将每个部分分为 A、B、C、D 和 E 部分。 他们说每个都有以下频率：

E  = X (depends on input)
D = (N^3)/6 - (N^2)/2 + N/3
C = (N^2)/2 - N/2
B = N
A = 1

我知道所有这些频率都来自部分和，但我不明白他们是如何得出每个答案的，如果有人能解释我为什么每个频率都是这样的，我将不胜感激。

public static int count(int[] a)
{
   int N = a.length; // Part A
   int cnt = 0;  // Part A

   for(int i = 0; i < N; i++)  //Part A
      for(int j = i+1; j < N; j++) // Part B
         for(int k = j+1; k < N; k++) // Part C
            if(a[i] + a[j] + a[k] == 0  // Part D
               cnt++; // Part E

   return cnt;
}

Answer 1

A 部分应该很明显：前三行执行一次。

B 部分（外循环的主体）在外循环的每次迭代中执行一次，总共执行N 次。

C 部分（第二个循环的主体）对外部循环的每次迭代执行 N - i - 1 次，其中 i 从 0 到 N-1 不等。当你加起来总和时(i=0..N-1){i}你得到N*(N-1)/2或(N^2)/2 - N/2。

D 部分（第三个循环的主体）在第二个循环的每次迭代中执行 i - j - 1 次，其中 i 和以前一样从 0 到 N-1 变化，j 从 0 到 i - 1 变化.当你把这个加起来的时候，你会得到 D 的结果。

E 部分（if 语句的主体）从 0（例如，所有 a[i] 值都是正数）到 D 次（例如，所有 a[i] 值都为零）执行。因此，您可以在 X 上设置界限，但如果不对输入做出一些假设，就不能说更多。