我目前正在学习算法课程，我们正在学习大 O 符号等。上次，我们谈到了如何
O (n^2 + 3n + 5) = O(n^2)
我想知道，如果同样的规则适用于此：
O(n^2) + O(3n) + O(5) = O(n^2)
另外，以下符号是否成立？
O(n^2) + n
或
O(n^2) + Θ (3n+5)
后面的 n 在 O 之外，所以我不确定它应该是什么意思。在第二种表示法中，我添加了 O 和 Θ 。
【问题讨论】：
标签： algorithm big-o time-complexity
至少出于实际目的，the Landau O(...) can be viewed as a function（因此它的符号很有吸引力）。 This function has properties for standard operations，例如：
O(f(x)) + O(g(x)) = O(f(x) + g(x))
O(f(x)) * O(g(x)) = O(f(x) * g(x))
O(k*f(x)) = O(f(x))
对于定义明确的函数f(x) 和g(x)，以及一些常量k。
因此，对于您的示例，
是的：O(n^2) + O(3n) + O(5) = O(n^2)
和：O(n^2) + n = O(n^2) + O(n) = O(n^2),O(n^2) + Θ(3n+5) = O(n^2) + O(3n+5) = O(n^2)
【讨论】：
O(3n+5) 是一个更笼统、更不具体的陈述 --- 你不能做出与O(3n+5) = Θ(3n+5) 相反的陈述，因为从技术上讲n^0.5 = O(n^2)（因为n^2 仍然是一个上限), 但n^0.5 ≠ Θ(n^2)
符号：
O(n^2) + O(3n) + O(5) = O(n^2)
还有，例如：
f(n,m) = n^2 + m^3 + O(n+m)
滥用相等符号，因为它违反了相等公理。为了更正式地正确，您需要将 O(g(x)) 定义为集合值函数，其值是所有增长速度不超过 g(x) 的函数，并使用集合成员符号表示一个特定的函数是集合的成员。
没有为朗道符号 (Big O) 定义加法和乘法。
【讨论】：
在复杂性理论中，朗道符号用于函数集。因此O(*) 不代表单个函数，而是代表整个集合。 + 运算符没有为集合定义，但是，在分析函数时，通常使用以下操作：
O(*) + g(n)
这通常表示一组函数，其中g(n) 被添加到O(*) 中的每个函数。结果集可以再次用大 O 表示法表示。
O(*) + O(**)
这是相似的。但是，它的行为类似于一种笛卡尔积。来自O(**) 的每个函数都被添加到来自O(*) 的每个函数中。
O(*) + Θ(*)
同样的规则在这里适用。但是，由于O(*) 的松动，结果通常不能表示为Θ(**)。仍然可以将其表示为O(**)。
【讨论】：
以下符号也成立
O(n^2) + n = O(n^2)
和
O(n^2) + Θ(3n+5) = O(n^2), Θ(n)
希望这是有道理的......
【讨论】：