乘法矩阵

Question

这两段伪代码有什么区别？

// Multiplying a matrix by the difference between each frame
float difference = current - previous; // Time since previous frame
float angle = difference / 500;
matrix rotation;
rotation.RotateX(angle);
rotation.RotateY(angle);
worldMatrix *= rotation; // Note multiply

// Multiplying a matrix by the difference between current and start
float difference = current - start; // Time since first frame
float angle = difference / 500;
matrix rotation;
rotation.RotateX(angle);
rotation.RotateY(angle);
worldMatrix = rotation; // Note assignment

每段代码之间只有很小的差异，但会导致很大的视觉差异。输入如下所示：

第 1 帧：旋转 = 1 弧度
世界矩阵 *= 旋转；
第 2 帧：旋转 = 1 弧度
世界矩阵 *= 旋转；
等等……

第 1 帧：旋转 = 1 弧度
worldMatrix = 旋转；
第 2 帧：旋转 = 2 弧度
worldMatrix = 旋转；
等等……

Answer 1

实际上，结果应该有所不同（即使您不考虑累积误差，如上所述）。原因是顺序在旋转中很重要：先先绕 X 再绕 Y 旋转不同于先绕 Y 再绕 X。

在矩阵表示法中（据我了解您的设置），您具有以下理想行为：

let angle = (end - start)/500
  Rx = rotate.RotateX(angle)
  Ry = rotate.RotateY(angle)

then, foreach frame in (0..500):
cumulative: Rc = Rx * Ry * Rx * Ry * ... * Rx * Ry
               = (Rx * Ry)^frame
assignment: Ra = Rx * Rx * ... * Ry * Ry * ....
               = (Rx)^frame * (Ry)^frame

关于伪代码的一些注释：这里的约定是我们从左到右乘以矩阵（这意味着点是行向量）。另外，如果不清楚，(matrix)^N 是矩阵求幂：将N 的副本按顺序相乘。

对于累积的情况，您的 OQ 从单位矩阵开始，将其乘以连续的小旋转 Rx 和 Ry；你的rotation 等于我的(Rx*Ry)。然后它将worldMatrix 乘以该矩阵多次；这意味着对于任何给定的帧，worldMatrix = initial_worldMatrix * (Rx*Ry)^frame。

对于赋值情况，您计算角度为frame * total_angle/total_frames。这相当于将total_angle/total_frames 依次旋转frame 次，这很重要，因为这些小旋转与累积情况中使用的小旋转完全相同。因此，在分配情况下，您的代码正在计算 (Rx)^frame * (Ry)^frame，并且每次都将 worldMatrix 重置为该值。

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关键是这些是不同的矩阵；即使有完美的数学，它们也应该看起来不同。

你应该选择哪一个取决于你想要什么样的行为。累积版本将非常近似地围绕 X 轴和 Y 轴之间的对角轴旋转；分配版本的作用就像旋转云台一样。

如果您确实想要累积行为，有比将多达 500 个矩阵相乘更好的方法（如上所述，您的矩阵会因浮点错误而漂移）。具体来说，可以先绕 Z 轴旋转 45 度，然后绕 X 轴旋转 frame/500，再绕 Z 轴旋转 -45 度，得到类似的效果。

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详细说明两种情况的区别：

在累积的情况下，你绕 X 旋转一点，然后绕 Y 旋转一点，重复很多次。如果旋转很小，则组合两个小旋转的结果将是围绕 some 轴的小旋转（如果它们不是那么小，则轴可能不在两者之间，但是它仍然是一个特定的轮换）。关键是，如果你重复那对旋转，结果将是在那个轴上越来越多的旋转，不管它是什么。

在分配情况下，您先围绕 X 进行所有旋转，然后围绕 Y 进行所有旋转。这会使旋转变大，这会产生影响。一种可视化差异的方法是想象一组坐标轴：大的 X 旋转会将原始 Y 轴旋转到线外，因此 Y 旋转的应用方式不同。

用数学术语来说，差异如此之大的原因在于，一般来说，旋转不是可交换的：换句话说，顺序很重要。请注意，小旋转是近似可交换的（随着旋转角度接近零，Rx * Ry 和 Ry * Rx 之间的差值二次方接近零 - 将角度减半可将差值减少 4 倍)，但是当你将所有的小旋转组合成两个大的旋转时，你做了很多重新排序，它会产生巨大的差异。即使每个单独的交换（Rx * Ry -> Ry * Rx）只有很小的影响，将 N 个 Rx 迁移到一侧实际上是一种冒泡排序：你需要 O(N^2) 交换到做吧....

Answer 2

不同之处似乎在于第一个样本将通过旋转矩阵改变当前世界矩阵。第二个样本用旋转矩阵替换世界矩阵。如果在此之前没有对世界矩阵应用其他操作，您可能看不到任何区别，但如果在此之前应用了任何操作，第二个代码示例将丢弃这些。

问题是，您是否希望对世界矩阵的更改是累积的？第一个代码示例会给你一个累积效应，第二个不会。