统计：最大似然法和矩量法

Question

我正在尝试找到以下的最大似然估计器和矩方法：

g(x;w;s) = pdf =  1/we^((-x-s)/(w)), for x > s

为了求s和w的MEE，我知道我必须解决以下两个函数：

(1) xbar = mu 
(2) 1/n summation Xi^2 = mu^2 + var

我发现 E[x] = mu = 从 s 到无穷大的积分 x*1/we^((-x-s)/w)dx =

e^(-2s/w)(w+s)

然后我发现 E[X^2] = var = 从 s 到无穷大的积分 x^2*1/we^((-x-s)/w)dx =

e^(-2s/w)(2w^2+2ws+s^2)

从这里我现在有我的两个方程：

(1) xbar = e^(-2s/w)(w+s)
(2) 1/n summation Xi^2 = mu^2 + e^(-2s/w)(2w^2+2ws+s^2)

现在我知道我需要求解这两个方程组，但我很难求解它们。我想为 w 或 s 求解第一个方程，并将它们代入第二个方程，但我无法弄清楚。我想知道我是否集成在正确的范围内？这对我来说是有道理的，但它可能是错误的。因此，由于无法进一步使用 MME，我尝试了最大似然法，得到了以下结果：

P(X1=x1, X2=x2,...,Xn=xn)
= P(X1=x1)P(X2=x2)...P(Xn=xn)
= g(x1;w;s)g(x2;w;s)...g(xn;w,s)
= 1/we^((-x1-s)/w) * 1/we^((-x2-s)/w) *... * 1/we^((-xn-s)/w)
= 1/w^ne^(-1/w summation xi+s)

从这里我再次陷入困境，我不确定我是否正确地做到了这一点。我不知道我所做的是否对任何人有意义，但任何帮助将不胜感激！ :)

谢谢大家！ 莉齐

附言很抱歉，我输入的这种格式的数学题很难阅读，我不熟悉这个网站。

Answer 1

重新检查您的积分。 E[x] = mu != x*1/we^((-x-s)/w)dx 而是等于 x*1/we^((-(x-s)/w)dx = s + w。我猜你的所有其他错误都是因为继承标志的错误：-(x-s) = -x + s。

顺便说一下，这个密度函数对应于移位指数分布。因为如果您将 X 与平均 w 呈指数分布，那么 X-s 的密度由 g 给出。 p>