为什么我在 matlab 中得到错误的矩阵范数？答案

【问题标题】：Why I am getting wrong matrix norm in matlab?为什么我在 matlab 中得到错误的矩阵范数？
【发布时间】：2014-05-25 17:45:28
【问题描述】：

我有一个小的、条件良好的厄米特矩阵 L，其特征值在 [0,2] 中。在尝试计算 L 的逆范数时，我得到了奇怪的结果：

>> norm(inv(L))

ans =

    2.0788

>> min(eig(L))

ans =

    0.5000

这很奇怪，因为逆的第二范数应该等于矩阵的最小特征值的逆。

我知道机器算术引入的错误，但在这个小的、厄米特和条件良好的示例中，我希望它可以忽略不计。

我在 Linux mint 16 (Petra) 上使用 matlab 8.2.0.701 (R2013b)。

【问题讨论】：

729x729 是一个“小”矩阵？
@Daniel，是的，而且这是一个稀疏矩阵。
你说well conditioned hermitian matrix L with eigenvalues in [0,1]，但这不是我得到的：e=eig(L); max(e) --> 1.3789, min(e)--> 0.5000
@Nasser，抱歉打错了，应该是 [0, 2]。

【解决方案1】：

这不是一个数值问题，正如您所指出的，矩阵条件良好。

逆的第二范数应该等于矩阵的最小特征值的逆

只有当矩阵是具有正特征值（即正定）的厄米特矩阵时，这才是正确的。来自维基百科：矩阵 A 的谱范数是 A 的最大奇异值，即正半定矩阵 A*A 的最大特征值的平方根

所以在这里你可以计算逆的范数：

[v,d] = eig(L'*L);
1.0/sqrt(min(diag(d))) = 2.0788539
norm(inv(L)) = 2.0788539

正如我们所料。

【讨论】：

这表明矩阵不可能是真正的厄米特矩阵，即，如果它有真实的条目，则它是对称的。或者不是肯定的。因为对于对称正定 (spd) 矩阵，原始推理是正确的，所以特征值也是奇异值。
@LutzL，是的，矩阵并不是真正的厄米特矩阵，情况就是这样。谢谢大家的帮助！
感谢 LutzL，我做了一些小修改以纳入您的评论。