多项式最小不动点的高效计算答案

【问题标题】：Efficient Computation of The Least Fixed Point of A Polynomial多项式最小不动点的高效计算
【发布时间】：2011-09-06 17:42:26
【问题描述】：

令 P(x) 表示所讨论的多项式。 P 的最小不动点 (LFP) 是 x 的最小值，使得 x=P(x)。多项式具有实系数。一般来说，不能保证 LFP 会存在，尽管如果度数为奇数且 ≥ 3，则可以保证存在。如果度数为 3，我知道一个有效的解决方案。x=P(x) 因此 0=P( x)-x。有一个封闭形式的三次公式，求解 x 有点简单，可以硬编码。 2 级和 1 级同样容易。这是我遇到麻烦的更复杂的情况，因为我似乎无法为任意程度提出一个好的算法。

编辑：

我只考虑真正的不动点，取其中最少的，不一定是绝对值最小的不动点。

【问题讨论】：

“最小”是指绝对值吗？
我认为这属于理论计算机科学堆栈
您是否仅限于多项式？找到任意函数的根并非易事，但我认为一般多项式有很好的解决方案。
@Suraj Chandran：这不是理论计算机科学。
@PengOne 不。我只考虑真正的不动点，并且取其中最少的。

标签： algorithm numerical-methods

【解决方案1】：

只需使用您最喜欢的数值方法求解f(x) = P(x) - x。例如，您可以迭代

x_{n + 1} = x_n - P(x_n) / (P'(x_n) - 1).

因为there aren't any closed-form formula for quintic and higher polynomials，您一般不会找到封闭式公式。因此，对于五次和更高的度数，您必须使用某种数值方法。

【讨论】：

但这如何保证找到最小不动点？随便找一个是不够的。
您需要找到所有的零并选择最小的。这很重要，因为您必须确定有多少个零是复杂的。
@Greogry Nisbet：没有。但是一旦你找到了一个，比如p，你就可以运行一些根查找方法来搜索(-p, p)中的根。
Least 并不意味着“绝对值最小”。
@Gregory Nisbet：哦，所以你想要最小的实不动点？

【解决方案2】：

由于您想要最小的固定点，因此您必须找到 P(x) - x 的所有实根并选择最小的。

找到多项式的所有根是一个棘手的问题。如果你有一个黑盒例程，那么一定要使用它。否则，请考虑以下技巧：

P(x) - x 的companion matrix 形式 M
查找 M 的所有特征值

但这要求您可以访问查找特征值的例程（这是另一个棘手的问题，但有很多好的库）。

否则，您可以实现Jenkins-Traub 算法，这是一段非常重要的代码。

我真的不建议找到零（例如牛顿法）和deflating，直到你达到一级：如果做得不好，它会非常不稳定，你会失去很多准确性（而且它很难用它来解决多个根源）。正确的做法其实就是上面提到的 Jenkins-Traub 算法。

【讨论】：

"我真的不建议找零（例如牛顿法）然后放气直到达到一级，如果做得不好，它会非常不稳定，并且会损失很多准确性" 我知道如果多项式是一个黑匣子就会出现这种情况，但我不明白为什么如果您可以轻松检查多项式的定义（比如它已存储作为实数列表）。据我了解，牛顿的方法收敛速度非常快等。我不怀疑你在说什么，但我很难理解为什么。
@Gregory：放气不稳定，程序失去准确性。即使对于中等次数多项式，您也会失去足够的准确性来找到错误/不存在的根。此外，使用牛顿法找到多个根肯定会失败： (x - a)^n 当 |x - a| 时近似为 epsilon^n ~ epsilon，所以你只能得到机器精度的 n 次方根。 x - a 放气会给你一个不精确的系数列表。多项式根可能对系数非常敏感（即使它们是它们的连续函数）。
您也可以查看 Numerical Recipes，了解有关此问题的一些指南（以及如何缓解通货紧缩问题）。

【解决方案3】：

这个问题试图找到多项式的“最小”（这里我不确定您的意思是幅度还是实际上是最小的，这可能是最负的）根。大次多项式没有封闭形式的解，但有无数种求根的数值方法。

通常情况下，Wikipedia 是开始搜索的好地方。

如果您想找到最小的根，那么您可以使用rule of signs 来确定它存在的区间，然后使用一些数值方法在该区间中找到根。

【讨论】：