线性迭代求解器与直接求解器稳定性

Question

迭代求解器是否比基于 LU 分解的直接求解器更稳定。对于基于 LU 的求解器，我们总是有 cond(A)

Answer 1

回答您的问题涉及两个因素。

1) 您正在分析的物理系统本身是病态的（从力学角度来说，系统非常“松散”，因此其平衡状态可能会因边界条件的微小变化而发生很大变化）

2) 物理系统没问题，但是在求解过程开始之前矩阵没有正确缩放。

在第一种情况下，您无能为力：物理系统本质上是不稳定的。例如，考虑应用不同的边界条件。 在第二种情况下，预处理器应该会有所帮助；例如，Jacobi 预处理器使所有对角线值都等于 1 的矩阵。在这种情况下，迭代更有可能收敛。条件比 1e10 不应该代表太多麻烦，前提是使用了预处理。