算法递归公式计算

Question

我有以下递归：

T(n) = T(2*n / 3) + T(n / 3) + O(n log n)

我需要知道确切的方程式，我知道 Master theorem 帮不了我。

请告诉我一般如何处理此类递归。我需要复杂性并了解如何解决此类问题。

提前致谢。

Answer 1

主定理的推广是Akra-Bazzi method。

假设你的 O(n log n) 真的是 Θ(n log n)，我们有 g(x)=x log x, a_i=1 for i=1 and i= 2、b₁=2/3 和 b₂=1/3。那么 b₁^p+b₂^p=1 当 p=1，g(u)/up+1=(log u)/u 有积分 (log²u)/2，T(x) 是 Θ(x log²x)。

Answer 2

您可以使用简化来获得上限。

1.方式：

T(n) = T(2/3 ⋅ n) + T(1/3 ⋅ n) + O(n log n)
     ≤ T(2/3 ⋅ n) + T(2/3 ⋅ n) + O(n log n)
     = 2 T(2/3 ⋅ n) + O(n log n)

现在你可以使用主定理了。这应该给你O( n<sup>1.7095</sup> )。由于我们有≤，所以我们有O 而不是Θ。

2。方式：
您可以“计算”调用树中的节点，在您的情况下它是二叉树。这棵树的最大深度为log<sub>3/2</sub>(n)，因此它的节点少于2<sup>O(log n)</sup> = O(n)。每个节点都有一个O(n log n)，所以你总共得到O(n) ⋅ O(n log n) = O(n² log n)。

当然，这是非常不准确的。如果我们将树分成两部分，我们可以做得更好：

1. 1/2 ⋅ log n 深度以上的上部：O(2<sup>1/2 ⋅ log n</sup> ) = O( sqrt(n) ) 节点。 该节点的权重为O(n log n)。
2. 1/2 ⋅ log n 深度以下的下部：O(2<sup>log n</sup> - sqrt(n) ) = O(n) 节点。 该节点的权重为O(sqrt(n) log n)

您总共获得：T(n) = O(sqrt(n)) ⋅ O(n log n) + O(n) ⋅ O(sqrt(n) log n) = O(n<sup>1.5</sup> log n)。

我希望这会有所帮助。

编辑：O(n<sup>1.5</sup> log n) ⊂ O(n<sup>1.7095</sup>).

编辑：您可以将O(n<sup>1.5</sup> log n) 写为O(n⋅sqrt(n)⋅log n)。正如@Teepeemm 所示，确切的复杂度是Θ(n log²(n))，它通过将因子sqrt(n) 替换为log(n) 来改进我展示的上限。