保持浮点插值的最大可能精度

Question

我们知道点 X1 和 X2 有各自的点 Y1 和 Y2，所以我们可以计算任意 X 的 Y：

 X - X1    Y - Y1
------- = -------
X2 - X1   Y2 - Y1

我们可以从中得到简单的公式（A）：

Y = (X - X1) * (Y2 - Y1) / (X2 - X1) + Y1;

这在数学上应该是等价的 (B)：

Y = (X - X1) / (X2 - X1) * (Y2 - Y1) + Y1;

对于整数数学公式 A，只要乘法 (X - X1) * (Y2 - Y1) 结果保持在类型范围内，A 的性能就会更好。公式 B 不起作用，因为如果 X1 <= X <= X2，那么除法将始终等于 0。

对于浮点，两者都应该工作，但我认为 B 会提供更好的准确性，因为乘法结果会保持较小。

1. 我对浮点精度的假设是否正确？

2. 是否有一些我没有考虑到的浮点怪癖？

假设 IEEE 754 浮点表示。

注意 1：我对浮点大小写感兴趣，整数数学非常简单。

注意2：FP公式上的变量可能有非整数值，但NaN和Infs不在问题范围内。

Answer 1

为Y解决以下问题

 X - X1    Y - Y1
------- = -------
X2 - X1   Y2 - Y1

(A) 和 (B) 都会表现出相似性：

(A)    Y = (X - offsetX) * deltaY / deltaX + offsetY;
(B)    Y = (X - offsetX) / deltaX * deltaY + offsetY;

如果点最初是整数，“B ...乘法结果将保持较小。”可能成立，但其他方面 |deltaX| |deltaY| 可能都小于 1，然后这个假设可能会失败。

要提高准确性，请考虑减去 2 个数字（或添加 2 个符号不同的相似数字）的效果。代码可以通过反转point1和point2的角色来选择X1,Y1或X2,Y2作为偏移量。 选择最接近 X,Y 的偏移量将提高准确性。

对于 FP 数学，* 和 / 强调 FP 数所允许的指数范围：乘积的精度可以预期在数学上正确答案的位范围内，但范围可能会溢出。

+ 和- 强调精度：范围很少成为问题，但用于形成总和的有效数字可能存在较大的抵消。

---

如果所有坐标值最初都是整数，建议使用 2 倍宽的整数数学并得出最佳答案。

如果要对最终结果进行整数化，请确保代码使用iy = (int) round(Y);

Answer 2

假设没有发生下溢或上溢，它们在准确性方面应该大致相当：乘法和除法都会产生相同的相对误差，并且由于误差大致是乘法的，因此执行操作的顺序不会有很大的不同。

如果您对所涉及项的相对大小有所了解，则可以重新排列项以使减法准确，这可能会稍微减少误差。

Answer 3

一般来说，乘法和除法很少会导致显着的精度损失。因为这些是 浮点 数字，具有用于小数位数和有效数字的单独字段，所以获得大的中间结果本身不是问题。 2e100/3e100 和 2/3（出于所有意图和目的）同样准确。

另一方面，结果量级远小于操作数的加法或减法是导致精度损失的更常见原因。

考虑到这一点，这两种形式基本上是等价的。如果您的数字是“主流”（即乘法不会导致上溢/下溢），那么您不会遇到任何形式的问题。如果你不能假设你的数字是主流，那么你必须采取各种特殊的预防措施才能获得好的结果。

现在，与其考虑 (A) 和 (B) 两种形式，我建议在 (A) 和 (C) 之间进行选择：

Y = (X - X1) * (Y2 - Y1) / (X2 - X1) + Y1; (A)
Y = (X - X2) * (Y2 - Y1) / (X2 - X1) + Y2; (C)

并选择第一个因素X - X1 或X - X2 的量级较小的形式。这样一来，如果 Y 变小，您可以最大限度地减少精度损失。

例如，让我们使用

(X1,Y1) = (-100, -100)
(X2,Y2) = (0, 0)
X = 0.76

三位数的精度。然后我们得到（A）：

Y = (0.76 - -100) * (0 - -100) / (0 - -100) + -100
  = 101 * 100 / 100 - 100
  = 1

而对于 (C)，我们得到：

Y = (0.76 - 0) * (0 - -100) / (0 - -100) + 0
  = 0.76 * 100 / 100 + 0
  = 0.76

所以，您的问题的快速答案是：

1. 中间结果的大小本身并不重要。这不是更喜欢（B）而不是（A）的理由。

2. 始终将加法和减法视为更可能导致精度损失的原因。