获取图像帧内梯形上的二维线性空间

Question

在这个图像中，黑框是图像的一帧，梯形是相机看到的矩形平面。

我知道 4 个角的像素坐标，并且可以遍历梯形内的每个像素。由于我不/不知道从相机到平面的变换/旋转矢量，我想根据梯形内部的位置将像素转换为 [0,0] [1,1] 坐标，以便我选择梯形内的一个点，获取[0, 0] [1, 1]范围内的一些坐标。

线性空间是指创建许多线性范围从 0 到 1 的值。因此，100 步从 0 到 1 的一维线性空间看起来像 [0, 0.01, 0.02, 0.03 ... 1]。在这种情况下，我想这样做，但在梯形的二维中。如果这是一个矩形，那将是微不足道的，我不确定是否有办法为梯形做到这一点。

例如，梯形左侧线上的每个点总是 X=0，并且当您“向上”移动时，y 从 0 线性变为 1（尽管 X 坐标实际上在图像帧中发生了变化）。

Answer 1

我在 Javascript here 中做了一个示例。下面是它背后的数学解释。

命名点，顺时针方向，从(0, 0)开始，A、B、C、D。然后我们可以将左侧的点 Q 定义为 A 和 B 的线性组合：

Qx = Ax * (1 - v) + Bx * v
Qy = Ay * (1 - v) + By * v

或者

Qx = Ax + dx1 * v
Qy = Ay + dy1 * v

dx1 = Bx - Ax 和 dy1 = By - Ay 在哪里

沿右侧的一点，R，作为 D 和 C 的线性组合：

Rx = Dx + dx2 * v
Ry = Dy + dy2 * v

dx2 = Cx - Dx 和 dy2 = Cy - Dy 在哪里

然后我们可以画一条从 Q 到 R 的线。当 v = 0 时，我们有线 AD，当 v = 1 时，我们有线 BC。随着 v 从 0 变为 1，我们得到覆盖整个梯形的线（假设它是凸的）。

所以梯形内的任意一点P都可以是Q和R的线性组合：

Px = Qx * (1 - u) + Rx * u
Py = Qy * (1 - u) + Ry * u

所以可以写一个点(Px, Py)：

Px = (Ax + dx1 * v) * (1 - u) + (Dx + dx2 * v) * u
Py = (Ay + dy1 * v) * (1 - u) + (Dy + dy2 * v) * u

现在我们有两个未知数的两个方程。

展开收集vs

v = (Px - Ax + u.Ax - u.Dx) / (dx1 - u.dx1 + u.dx2)
v = (Py - Ay + u.Ay - u.Dy) / (dy1 - u.dy1 + u.dy2)

更多的替换来简化计算：

dx3 = Ax - Dx
dy3 = Ay - Dy
dx4 = dx2 - dx1
dy4 = dy2 - dy1
dx5 = Px - Ax
dy5 = Py - Ay

获得：

v = (dx5 + u.dx3) / (dx1 + u.dx4)
v = (dy5 + u.dy3) / (dy1 + u.dy4)

设置它们相等

(dx5 + u.dx3) / (dx1 + u.dx4) = (dy5 + u.dy3) / (dy1 + u.dy4)

交叉乘法

(dx5 + u.dx3) * (dy1 + u.dy4) = (dy5 + u.dy3) * (dx1 + u.dx4)

展开

dx5 * dy1 + dx5 * dy4 * u + dx3 * dy1 * u + dx3 * dy4 * u^2 = dy5 * da1 + dy5 * dx4 * u + dy3 * dx1 * u + dy3 * dx4 * u^2

收集条款

(dx3 * dy4 - dy3 * dx4)u^2 + (dx5 * dy4 - dy5 * dx4 + dx3 * dy1 - dy3 * dx1)u + dx5 * dy1 - dy5 * dx1 = 0

这是ax^2 + bx + c = 0 形式的二次方 用二次公式求解

a = dx3 * dy4 - dy3 * dx4
b = dx5 * dy4 - dy5 * dx4 + dx3 * dy1 - dy3 * dx1
c = dx5 * dy1 - dy5 * dx1;
determinant = b * b - 4 * a * c

如果行列式 >= 0

u = (-B + sqrt(determinant)) / (2 * A)

然后将u 代入这个方程得到v：

v = (dx5 + u.dx3) / (dx1 + u.dx4)