odeint 的两点边界答案

【问题标题】：Two point boundary with odeintodeint 的两点边界
【发布时间】：2013-07-19 11:29:55
【问题描述】：

我正在尝试用 odeint 解决两点边界问题。我的方程的形式是

y'' + a*y' + b*y + c = 0

当我有y(x_1) = y_1 , y'(x_2) = y_2 的边界条件时，这很简单，但是当边界条件为y(x_1) = y_1 , y(x_2) = y_2 时，我迷路了。有谁知道使用 odeint 或其他科学图书馆处理此类问题的方法吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

在这种情况下，您需要一种拍摄方法。 odeint 没有这样的方法，它解决了您的第一个案例的初始值问题（IVP）。我认为在 Numerical Recipies 中解释了这种方法，您可以使用 Boost.Odeint 进行时间步进。

【讨论】：

【解决方案2】：

解决此类问题的另一种更有效的方法是有限差分法或有限元法。对于有限差分，您可以检查数值配方。对于有限元，我推荐 dealii 库。

另一种方法是使用 b 样条：假设您确实知道初始 x0 和最终 xfinal 积分点，那么您可以在 b 样条基础上扩展解 y(x)，定义在 (x0,xfinal) ，即

y(x)= \sum_{i=1}^n A_i*B_i(x),

其中 A_i 是待确定的常数系数，而 B_i(x) 是 b 样条基（定义明确的多项式函数，可以数值微分）。对于科学应用，您可以在 GSL 中找到 b 样条的实现。

通过这种替换，边界值问题被简化为线性问题，因为（我对重复索引使用爱因斯坦求和）：

A_i*[ B_i''(x) + a*B_i'(x) + b*B_i(x)] + c =0

您可以选择一组点 x 并根据上述方程创建一个线性系统。您可以在以下评论论文“B样条在原子和分子物理学中的应用”-H Bachau、E Cormier、P Decleva、J E Hansen 和 F Martín 中找到有关此类方法的信息

我不知道有什么库可以直接解决这个问题，但是有几个用于 B 样条的库（我推荐 GSL 以满足您的需要），它们可以让您形成线性系统。看到这个stackoverflow问题： Spline, B-Spline and NURBS C++ library

【讨论】：