寻找柯西问题的解决方案。在 Matlab 中

Question

我需要一些帮助来解决在 Matlab 中的柯西问题。 问题： y''+10xy = 0, y(0) = 7, y'(0) = 3 我还需要绘制图表。 我写了一些代码，但我不确定它是否正确。特别是在功能部分。 有人可以检查吗？如果不正确，我在哪里做错了？
这是其他 .m 文件中的单独函数：

function dydx = funpr12(x,y) 
    dydx = y(2)+10*x*y 
end

主要：

%% Cauchy problem
clear all, clc
xint = [0,5]; % interval
y0 = [7;3]; % initial conditions
% numerical solution using ode45
sol = ode45(@funpr12,xint,y0);
xx = [0:0.01:5]; % vector of x values
y = deval(sol,xx); % vector of y values
plot(xx,y(1,:),'r', 'LineWidth',3)
legend('y1(x)')
xlabel('x')
ylabel('y(x)')

我得到这张图：

Answer 1

ode45 及其相关同类仅用于求解y' = ... 形式的一阶微分方程。如果要解决二阶微分问题，则需要做一些工作。

具体来说，您必须将您的问题表示为一阶微分方程的系统。您目前有以下 ODE：

 y'' + 10xy = 0, y(0) = 7, y'(0) = 3

如果我们重新排列以解决y''，我们得到：

y'' = -10xy, y(0) = 7, y'(0) = 3

接下来，您将需要使用两个变量...称其为 y1 和 y2，这样：

y1 = y
y2 = y'

按照您为ode45 构建代码的方式，您指定的初始条件正是这样——使用y 的猜测及其一阶猜测y'。

对每一边求导得到：

y1' = y'
y2' = y''

现在，做一些最后的替换，我们得到了这个一阶微分方程的最终系统：

y1' = y2
y2' = -10*x*y1

如果您看不到这个，只需记住y1 = y、y2 = y'，最后是y2' = y'' = -10*x*y = -10*x*y1。因此，您现在需要构建您的函数，使其看起来像这样：

function dydx = funpr12(x,y) 
    y1 = y(2);
    y2 = -10*x*y(1);
    dydx = [y1 y2];
end

请记住，向量y 是一个二元向量，分别表示y 和y' 在x 指定的每个时间点的值。我还认为将其设为匿名函数会更简洁。它需要更少的代码：

funpr12 = @(x,y) [y(2); -10*x*y(1)];

现在继续解决它（使用您的代码）：

%%// Cauchy problem
clear all, clc

funpr12 = @(x,y) [y(2); -10*x*y(1)]; %// Change
xint = [0,5]; % interval
y0 = [7;3]; % initial conditions
% numerical solution using ode45
sol = ode45(funpr12,xint,y0); %// Change - already a handle

xx = [0:0.01:5]; % vector of x values
y = deval(sol,xx); % vector of y values
plot(xx,y(1,:),'r', 'LineWidth',3)
legend('y1(x)')
xlabel('x')
ylabel('y(x)')

请注意，通过deval 模拟微分方程的解时的输出将是一个两列矩阵。第一列是系统的解决方案，而第二列是解决方案的导数。因此，您需要绘制第一列，这就是绘图语法正在做的事情。

我现在得到了这个情节：