Julia 中的二阶 ODE 给出错误的结果

Question

我正在尝试使用 julia 提供的DifferentialEquations.jl，它可以正常工作，直到我尝试在二阶 ODE 上使用它。 例如考虑二阶 ODE

x''(t) = x'(t) + 2* x(t)，带初始条件

x'(0) = 0, x(0) = 1

它的解析解为：x(t) = 2/3 exp(-t) + 1/3 exp(2t)。

为了解决这个问题，我运行以下代码：

using DifferentialEquations;

function f_simple(ddu, du, u, p, t)
    ddu[1] = du[1] + 2*u[1] 
end;

du0 = [0.]
u0 = [1.]
tspan = (0.0,5.0)
prob2 = SecondOrderODEProblem(f_simple, du0, u0, tspan)
sol = solve(prob2,reltol=1e-8, abstol=1e-8);

这样，

sol(3)[2] = 122.57014434362732

而解析解产生 134.50945587649028，所以我在这里有点迷失了。

Answer 1

根据the documentation for DifferentialEquations.jl，Vern7() 适用于非刚性方程的高精度解：

sol = solve(prob2, Vern7(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)
julia> println(sol(3)[2])
134.5094558872943

在我的机器上，这与解析解非常接近。我不确定使用的默认方法是什么：文档表明solve 有一些方法可以在未指定时选择合适的求解器。

有关Vern7()的更多信息，请查看Jim Verner's page on Runge-Kutta algorithms。