找到通过二维平面中点的最短路径

Question

我有以下问题：

给定平面上的点集 P = { (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) }，找到具有以下性质的最短路径：

• 从P中最左边的点L开始（x坐标最小）
• 它通过x坐标增加的点到达最右边的点R（x坐标最大）
• 然后它通过 x 坐标递减的点从 R 回到 L
• 它访问来自 P 的所有点

• 我们可以假设所有点都有不同的 x 坐标。

• 另外我假设每个点只能访问一次（但我不确定它是否不符合上述属性）。

我开发了以下算法：

1. sort points in P by the x coordinate
2. start two paths in the left most point L
3. for each p in P:
4.     extend path that has last point closest to p
5. connect shorter path with R with edge X

但事实证明这是错误的。路径可以相交，当它们相交时，总会有更好的路径，可以通过切换相交段的端点来构建。如何解决？

Answer 1

正如 David Eisenstat 所提到的，您需要覆盖每个点的最短双音之旅。

这可以通过 O(n^2) 时间内的动态规划来完成。

让Pij (1 <= i <= j <= n) 是从点pi 到pj 的双调路径，这样路径从pi 开始，严格向左到p1，然后严格向右到pj，在此过程中覆盖pj左侧的所有点。

让d[i,j] 是从i 到j 的最短路径的长度。

Note that d[1,2] = dist(p1,p2)
d[1,3] = d[1,2] + dist(p2,p3).
d[i,j] = d[i,j-1] + dist(j-1,j) for i < j-1.
d[j-1,j] = min( d[k,j-1] + dist(k,j) ) for 1 <= k < j-1

你可以使用上面的递归关系找到d[n,n]。

构建这个二维矩阵需要 O(n^2) 时间