为什么需要考虑负循环的有向图的最短路径问题？答案

【问题标题】：Why is there need to consider the shortest path problem for digraphs with negative cycles?为什么需要考虑负循环的有向图的最短路径问题？
【发布时间】：2020-04-13 12:40:17
【问题描述】：

考虑可能带有负循环的有向图 G=(V,A,W) 上的最短路径问题。我们只考虑简单路径，即没有重复顶点的路径。通过构造一个新的图 G'(V,A,W') 使得 G' 和 G 具有相同的顶点和弧，但是对于每条弧，它在 G' 中的权重比它在 G 中的权重高一个常数。

很明显，如果 P1 和 P2 是两条路径，并且在 G 中 w(P1)

此外，the shortest path problem with negative cycles is actually NP-hard。如果我是对的，我们可以将有负循环的情况简化为没有负循环的情况，那么问题不应该是多项式吗？

我想我错过了什么，但我不确定是什么。

【问题讨论】：

如果你给边添加权重，那么路径的权重也会随着边的数量而变化。因此，可能会有一条更昂贵的路径，但由于它的跳数更少，现在将被选择。

标签： algorithm graph graph-algorithm shortest-path

【解决方案1】：

很明显，如果P₁和P₂是两条路径，而w(P ₁) 2) 在 G 中，然后 w'(P_{1 sub>) 2}) in G'。这意味着 G 中的最短路径也是 G' 中的最短路径。

否，因为如果 G 中路径 p 的权重表示为 w_p，那么该路径在G'中的权重为w_p+n_p×c n_p 是路径中的边数，c 是增加每条边的常数。

这意味着另一条路径现在可能更有利。该路径在 G 中可能有更昂贵的边，但由于它包含的边较少，因此修改后的边的总和可能小于 G 中的边。

以下图为例：

 A               B
 o-------7-------o
1 \             / 1
   o--2--o--2--o
   C     D     E

这里A和B之间的最短路径是通过C、D和E，因为总和是1+2+2+1=6，而A 和B 之间的直接路径将导致7。

如果我们现在将每条边增加两个，例如，我们得到：

 A               B
 o-------9-------o
3 \             / 3
   o--4--o--4--o
   C     D     E

所以现在路径 A-C-D-E-B 的权重 3+4+4+3=14，而直接路径 A-B 的权重 >9。因此，如果我们将每条边增加某个常数，则最优路径可能会有所不同。

【讨论】：