为什么逆等式在 MATLAB 中不满足？答案

【问题标题】：Why inverse equality does not satisfy in MATLAB?为什么逆等式在 MATLAB 中不满足？
【发布时间】：2011-10-30 17:56:59
【问题描述】：

MATLAB不满足求逆的矩阵运算，即；

(ABC)-1 = C-1 * B-1 * A-1

在 MATLAB 中，

if inv(A*B*C) == inv(C)*inv(B)*inv(A)
   disp('satisfied')
end

它不符合条件。当我做format long的时候，我意识到分数是有区别的，但是当我做format rat的时候，它甚至不满足。

为什么会这样？

【问题讨论】：

标签： matlab floating-point matrix-inverse

【解决方案1】：

很可能是floating point error。请注意，the format function affects only how numbers display, not how MATLAB computes or saves them. 因此将其设置为 rat 不会帮助解决不准确的问题。

我还没有测试过，但您可以尝试使用 Fractions Toolbox 进行精确的有理数算术，这应该与上述相等。

【讨论】：

【解决方案2】：

考虑一下（MATLAB R2011a）：

a = 1e10;
>> b = inv(a)*inv(a)
b =
  1.0000e-020
>> c = inv(a*a)
c =
  1.0000e-020
>> b==c
ans =
     0
>> format hex
>> b
b =
   3bc79ca10c924224
>> c
c =
   3bc79ca10c924223

当 MATLAB 计算中间量 inv(a) 或 a*a（无论 a 是标量还是矩阵）时，它默认将它们存储为最接近的双精度浮点数 - 这并不精确。所以当这些稍微不准确的中间结果用于后续计算时，就会出现舍入误差。

相比直接相等的浮点数，例如inv(A*B*C) == inv(C)*inv(B)*inv(A)，通常最好将绝对差与阈值进行比较，例如abs(inv(A*B*C) - inv(C)*inv(B)*inv(A)) < thresh。这里的thresh 可以是任意小的数字，也可以是涉及eps 的表达式，它可以在您工作的精度下为您提供两个数字之间的最小差异。

format 命令仅控制在命令行中显示结果，而不是在内部存储结果的方式。特别是，format rat 不会让 MATLAB 以符号方式进行计算。为此，您可以查看Symbolic Math Toolbox。 format hex 通常比 format long 更有用，用于诊断浮点精度问题，例如您遇到的问题。

【讨论】：