n=f(n).log(f(n)) 的函数 f(n) 的复杂度是多少答案

【问题标题】：What is the complexity of function f(n) with n=f(n).log(f(n))n=f(n).log(f(n)) 的函数 f(n) 的复杂度是多少
【发布时间】：2015-02-12 07:23:11
【问题描述】：

函数f(n)的复杂度是多少，最好是Big-O记法，f(n)满足条件n = f(n).log(f(n)),f(n) > 1 .假设登录base 2。

我试图将 f(n) 与条件隔离，但无法完成。使用excel得到函数f(n)的图形后。似乎 f(n) = O(n^2) 但我不知道怎么弄出来？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我认为复杂度甚至低于O(n)——即O(n/ln(n))。半证明：

（用 n/ln(n) 代替 f(n)）

RHS = n/ln(n) * ln(n/ln(n)) = n/ln(n) * (ln(n) -ln(ln(n))) = = n - n * ln(ln(n))/ln(n) = n * (1-ln(ln(n))/ln(n)) = n*Theta(1) = Theta(n) = LHS

为了清楚起见，我几乎在所有地方都跳过了 Theta 符号。

【讨论】：

我不买半样张。你能澄清一下：n * (1-ln(ln(n))/ln(n)) = n*Theta(1)。很明显 n * (1-ln(ln(n))/ln(n)) = O(n)，但 theta 不正确。现在如果你取 n * (1-ln(ln(n))/ln(n)) = O(n)，那么你所展示的实际上是 n/log(n) = O(f(n) )。我们知道 g = O(h) 并不一定意味着 h = O(g)。事实上，f 实际上比 n/log(n) 增长得更快。你可以用数字检查它，但它也可以显示出来…… f 是次线性的。确切的函数是 e^W(n)，其中 W 是 Lambert W。也许有人可以在 e^W(n) 和 n 之间想出一个聪明的函数。
嗯，Theta 符号的定义需要两个常量：c1,c2，这样f*c1<g<f*c2 就可以得到足够大的参数。如果我采用c1=0.5 和c2=2，我们得到：0.5*(1-ln(ln(n))/ln(n))<1<2*(1-ln(ln(n))/ln(n))，这对于n 的大值是正确的，因为ln(ln(n))/ln(n) 趋于零。
我同意复杂度甚至低于o(n)，实际上f(n) = theta(n/log(n))。证明：*对于下界：我们需要找到 c1 和 n1 使得 f(n) >= c1。 f(n)。 log(f(n))/log(f(n).log(f(n))) 其中 n > n1 => log(f(n)) + log(log(f(n)) >= c1。 log(f(n)) => log(log(f(n))) >= (c1 - 1) log(f(n)) 让 n1 > 2 并且 c1 = 1 然后 LHS = log(log(f (n)) > RHS = 0 *对于上限：取 n2 > 2 和 c2 > 2 然后 LHS = log(log(f(n))

【解决方案2】：

评论越来越长，所以这里有一个证明的草图。这可能是家庭作业，所以请确保你学到了一些东西，而不是简单地抄下来。

为了证明f是O(n)，你必须证明存在一个M和n1，其中f(n) n1。

我们知道 n = f(n) log(f(n))，所以 M |n| = M |f(n)| |对数(f(n))|。

所以我们试图找到的是一个 M 和 n1

  f(n) < M |n| = M |f(n)| |log(f(n))|

对于 n > n1。

n、f 和 log f 都是正数，所以我们可以去掉 |.|得到

  f(n) < M f(n) log(f(n)) = M |n|

我们的目标是找到一个 M 和 n1

  f(n) < M f(n) log(f(n)) = M |n|

对所有 n > n1 都成立。选择 M = 1，n1 = 10，然后

  f(n) < f(n) log(f(10)) <= f(n) log(f(n)) = |n|  (where M is now set to 1)

对于 n > n1。 f(n) log(f(10)) n1 是单调的（家庭作业：证明这是真的） . f(n) 1。

这表明 f(n) 是 O(n)。

【讨论】：

Pick M = 1, n1 = 10, then f(n) < f(n) log(f(10)) <= f(n) log(f(n)) = |n| (where M is now set to 1) for n > n1. f(n) log(f(10)) <= f(n) log(f(n)) is true because log(f(n)) is monotonic for n>n1 (homework exercise: show that this is true). 对我来说毫无意义！！！！！！
谢谢@thang。我现在明白了。只是让它更清楚。选择 M=1，我们的目标是找到 n1 使得 f(n) n1。我们需要确保 log(f(n)) = n/f(n) > 1 并考虑 f(n) > 1 作为给定条件。所以我们可以取 n1 > 1 的任何值，然后 n/f(n) = log(f(n)) >1，因此 f(n) n1
因为您的解决方案首先尝试猜测 g(n)，然后我们证明它是满足条件的。我想知道我们是否可以找到满足 f(n) = theta(g(n)) 的 g(n)。我们也能猜到吗？