如何区分负变量和正变量？答案

【问题标题】：how I can seperate negative and positive variables?如何区分负变量和正变量？
【发布时间】：2019-05-08 23:03:56
【问题描述】：

让我有一个变量 UT[i,j,k,r]，其定义为 2 个其他变量的总和。

UT[i,j,k,r]= U[i,j,k,r]+D[i,j,k,r]

现在我想为正的 UT[i,j,k,r] 编写一些约束！我能做什么？

我尝试了很多方法：我定义了一个二进制变量，如果 UT 为正则为 1，否则为 0，但这并没有解决我的问题，因为将它们相乘很复杂。有什么方法可以存储 UT 为正的索引吗？

【问题讨论】：

有一些关于如何根据另一个决策变量here激活/停用约束的讨论； 4er 关于如何在 AMPL 中轻松做到这一点的评论可能特别有帮助。
我在 AMPL 用户论坛上回答了这个问题，所以我将在此处以适合 Stack Exchange 的形式发布。

标签： optimization linear-programming ampl glpk

【解决方案1】：

假设BT[i,j,k,r] 是您的二进制变量。然后，如果您使用 CPLEX、Gurobi 或 Xpress 作为求解器，您可以像这样编写“指标约束”：

BT[i,j,k,r] = 1 ==> *your constraint*

这是最简单的方法。或者，对于任何求解器，如果您的约束是线性的，则可以将指标约束转换为等效的线性约束，而无需将二进制变量乘以任何其他变量。（如果您的约束是非线性的，那么也可能存在转换。）要了解此类转换是如何完成的，请参阅@LarrySnyder610 对if condition in ampl 的回答。

【讨论】：

【解决方案2】：

一种选择是将UT分成两部分：UTplus和UTminus，两者均>= 0。然后定义UT = UTplus - UTminus。

现在您需要添加一个约束，表示两者中最多有一个可以为非零。有几种选择：

您可以按照您的建议和 4er 解释的方式使用指标约束。使用二进制辅助变量来指示如果该变量为 1，则 UTminus 必须为零，如果辅助变量为 0，则 UTplus 必须为零。如果您可以推导出 UTplus 和 UTminus 的上限 M，那么您也可以添加约束 UTplus <= M*binary 和 UTminus <= M*(1 - binary)。如果 M 不太大，这可能会带来更好的性能。
您可以使用包含 UTplus 和 UTminus 的 SOS 约束（变量中的每个索引都需要一个 SOS）。这也强制两者中的最多一个可以是非零的，但不会引入任何新变量。这是否比指标或大 M 更有效还有待测试。
如果 UTplus 和 UTminus 在目标函数中都具有正系数（用于最小化），那么在任何最优解中，两者中的一个都有可能自动为零。这取决于变量 UT 在您的模型中究竟代表什么。看看你的模型，看看你是否可以证明这个属性。那么你就不需要任何额外的约束或变量了。

【讨论】：