有限域内的逆答案

【问题标题】：Inverse within a finite field有限域内的逆
【发布时间】：2014-08-14 10:31:55
【问题描述】：

我正在阅读一本关于密码学的书（我尝试将这些术语从西班牙语翻译成英语），但我不明白如何计算 该字段内的倒数（最初问题使用术语“body”而不是“field”，因为这是西班牙语或德语等语言的直译）。

通过纯抽取使用单字母替代加密：

· 加密： Ci = a* Mi mod n 例如 --> 我们将用 a=20 和西班牙字母 (n=27) 加密字母 C（C 是位置 2，从 0 开始） --> Ci = 20*C mod 27 = 20*2 mod 27 = 13 => N

· 解密：a^(-1) * Ci mod n

问题来了

a^(-1) 是主体 n 中抽取因子的倒数；换句话说：逆（a，n）。我用谷歌搜索并尝试进行一些计算，但我没有得到正确的结果---> inverse(a, n) = inverse(20, 27) = 16 （并且 gcd 是有效的）。

例如：

22^(-1) * 13 mod 27 != 16

【问题讨论】：

inverse(20,27)=23, not 16
当时是 22,27，但可以：D。完美的。但我不明白为什么当我在 Python、C#... "(22^(-1)) % 27" 中执行时，结果不是 16，但在 Wolfram Alpha 中是：wolframalpha.com/input/?i=22^%28-1 %29+mod+27 有什么想法？
使用 ^ 会导致问题。在那些编程语言中，它意味着别的东西，Wolfram Alpha 可能会以第三种方式解释 ^-1。
在素数域中求逆的最简单方法（如果您没有专门的函数）是计算x^(p-2) mod p。在 C# 中，您将使用 BigInteger.ModPow(x, p - 2, p)
虽然有些字段的顺序为 3^3=27，但它们不是使用模运算实现的。所以你工作的只是一个环而不是一个领域。另请注意，只有 GCD(x,modals)=1 的元素才会有逆。例如没有 3 mod 27 的倒数。

【解决方案1】：

要在您的示例中找到模（乘法）逆，您必须找到 x 使得 (22 * x) % 27 == 1。

有一个variety of different ways 你可以用数学方法做到这一点。请注意，一般情况下，仅当 gcd(a, n) == 1 时才存在逆。

如果您想为您的示例编写一个简单的算法，请尝试以下 Python 代码：

def inverse(a, n):
    for x in range(n):
        if (a * x) % n == 1:
            return x

这给出了：

>>> inverse(22, 27)
16

>>> inverse(20, 27)
23

正如您问题下方的 cmets 中所提到的，在现有库中为您最喜欢的编程语言计算模逆可能有更好的函数。

【讨论】：

完美！但是一个问题：为什么在密码学中乘法的逆是“（a * x）mod n == 1”而不是除法？
没问题！为了尝试回答您的问题，乘法和除法本质上是相同的运算：当您找到数字 a 的乘法逆元时，您所做的就是找到另一个数字 x，例如 a*x == 1。例如，如果a = 2 我们通常建议x = 1/2 作为反例。但是，我们不能在模算术中选择非整数。在您的示例中，我们仅限于从整数 0、1、2、...、25、26 中查找 x 的逆。相反，我们可以选择 x = 14，因为 2*14 = 28 = 1 mod 27，所以 14 是乘法在这种情况下是 2 的倒数。
*抱歉，应该这样写：我们只能从整数 0、1、2、...、25、26 中寻找 a 的倒数。