通过循环移位求幂

Question

这里关于 SO 的一些其他主题提到了 Brickell 等人的论文“Fast Exponentiation with Precomputation”，该论文连同与二进制数字对应的幂的预计算的简单概念，有一个关于“循环移位求幂”的声明（如据我了解）。不幸的是，论文的那部分是用一种非常笼统的形式表达的，所以我根本无法弄清楚他们是否在谈论一些明显变得复杂的东西，而不是 2**n，或者真的存在某种其他的求幂方法比乘法（平方）？

例如，假设我们有x = 5（即二进制的00101）。怎么可能以y = 5 * 5（二进制中的11001）结束，只使用位移，也许还有一些加法？当然，算法应该比乘法更有效——答案“你可以通过一堆位移和加法来模拟每个乘法，就像y = (5 << 2) + (5 << 0)”不计算在内。好吧，如果稀疏数字很常见，它可以计算，但这不是常见的情况，并且确定确切的位数也很耗时，所以，除非一个数字 非常 稀疏，否则它不是值得一试，这样每次平方后都需要进行新的评估。

Answer 1

该方法称为“二进制分解求幂”，您可以在 Knuth 4.6.3 中找到讨论。例如，，因此在第一种情况下您需要 7 次乘法，但在第二种情况下需要 3 次（注意 8 = 100 是二进制的）。执行此操作的代码如下：

long power( int x, int n ){
   long result = 1;
   long base = x;
   while( true ){
      if( n & 1 ) result = base * result;
      n = n >> 1;
      if( n == 0 ) return result;
      base = base * base;
   }
}