如何对任意长度的数字实现平方根和求幂？答案

【问题标题】：How to implement square root and exponentiation on arbitrary length numbers?如何对任意长度的数字实现平方根和求幂？
【发布时间】：2010-12-25 22:52:33
【问题描述】：

我正在为任意长度的数字（仅非负整数）开发新的数据类型，但在实现平方根和幂函数（仅适用于自然指数）时遇到了困难。请帮忙。

我将任意长度的数字存储为字符串，所以所有的操作都是由 char 来做的。

请不要包含使用不同（现有）库或其他方式来存储数字而不是字符串的建议。它是一种编程练习，而不是真实世界的应用程序，因此优化和性能并不是那么必要。

如果您在答案中包含代码，我希望它采用伪代码或 C++。重要的是算法，而不是实现本身。

感谢您的帮助。

【问题讨论】：

“我在实现平方根和求幂函数时遇到了困难”？坚持什么？为您的算法发布一些代码或一些伪代码，明确定义“卡住”的含义。
我将任意长度的数字存储为字符串 - 在什么基础上？ 10 点？
“我将任意长度的数字存储为字符串”——等等，什么？这不仅是令人难以置信的内存浪费（而且，在某种程度上，我无法判断，性能潜力），我还认为这是不必要的难以处理......
你已经实现了哪些功能？怎么样？
@tomp 祝你考试顺利，请注意，我并不想听起来苛刻，只是提供真诚的意见和建议！

标签： algorithm language-agnostic types numbers

【解决方案1】：

平方根：Babylonian method。即

function sqrt(N):
    oldguess = -1
    guess = 1
    while abs(guess-oldguess) > 1:
        oldguess = guess
        guess = (guess + N/guess) / 2
    return guess

求幂：by squaring.

function exp(base, pow):
    result = 1
    bits = toBinary(powr)
    for bit in bits:
        result = result * result
        if (bit):
            result = result * base
    return result

其中toBinary 返回一个由 1 和 0 组成的列表/数组，MSB 在前，例如由以下 Python 函数实现：

def toBinary(x):
    return map(lambda b: 1 if b == '1' else 0, bin(x)[2:])

请注意，如果您的实现是使用二进制数完成的，则可以使用按位运算来实现，而无需任何额外的内存。如果使用十进制，那么您将需要额外的来存储二进制编码。

但是，有一个十进制版本的算法，看起来像这样：

function exp(base, pow):
    lookup = [1, base, base*base, base*base*base, ...] #...up to base^9
     #The above line can be optimised using exp-by-squaring if desired

    result = 1
    digits = toDecimal(powr)
    for digit in digits:
        result = result * result * lookup[digit]
    return result

【讨论】：

@大卫：哦。固定的。 Sqrt 现在应该返回不超过 N 平方根的最大整数。
很好的答案。我曾经看过一次平方幂运算，但是用函数式语言编写的，我完全忘记了它。另外，我从未听说过巴比伦的方法。看起来很有趣，谢谢。
您对平方指数的解释可能是错误的。至少在函数的第一行，例如result = 1 应该是 result = base 并且我认为乘以基数（在第 5 行）也可能不正确（它并不总是原始基数）。使用递归时算法更容易。
@tomp：哎呀！！实际上，result = 1 是函数中唯一正确的部分！我现在已经更新了。

【解决方案2】：

乘法可以简单地实现求幂 - 最基本的实现只是一个循环，

result = 1;    
for (int i = 0; i < power; ++i) result *= base;

您可以（并且应该）使用平方和分治来实现更好的版本 - 即 a^5 = a^4 * a = (a^2)^2 * a。

可以使用牛顿法找到平方根 - 你必须得到一个初步的猜测（一个好的方法是从最高位取平方根，然后乘以数字的底数，提高到原始数字的一半长度），然后使用除法对其进行细化：如果 a 是 sqrt(x) 的近似值，则更好的近似值是 (a + x / a) / 2。当下一个近似值等于前一个近似值时，您应该停止, 或 x / a。

【讨论】：