数学问题：从位置和角度获取坐标答案

【问题标题】：Math Problem: Getting Coordinates From Position And Angle数学问题：从位置和角度获取坐标
【发布时间】：2010-06-20 00:55:33
【问题描述】：

首先让我说明我的数学很糟糕。

我正在尝试重新定位和旋转一个矩形。但是，我需要从一个不是 0,0 的点旋转矩形，而是根据它的坐标移动了多远。我确信这没有多大意义，所以我做了一些草图来帮助解释我需要什么。

上图显示了红色矩形从 0% 到 100% 的 3 个阶段。红色矩形的 X 和 Y 坐标（红色矩形的左上角）仅移动蓝色矩形高度的一定百分比。

红色矩形可以旋转。仅关注上面的中间示例（“距离 -50%”），其中红色矩形重新定位在蓝色矩形高度的 -50 处，上图中的新角度现在为 -45º。它已经从它的 0, 0 点旋转了。

现在，我的问题是我希望它的旋转点反映它的位置。

红色和蓝色矩形大小相同，但宽度和高度相反。因为红色矩形的 0,0 坐标现在是蓝色矩形高度的 -50%，并且由于它们具有相反的宽度和高度，我希望旋转点是红色矩形宽度的 50%（或蓝色矩形的 50%高度，这是同一件事）。

而不是专门告诉红色矩形以它的宽度的 50% 旋转，为了做我想做的事，我需要通过使用一个公式来模拟这样做，该公式将定位红色矩形的 X 和 Y 坐标，以便它的旋转点反映了它的位置。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这是您问题的图解解决方案：

【讨论】：

【解决方案2】：

其实很简单。

1. 让我们确定要旋转矩形的点，即旋转矩形时不会移动的旋转点 (RP) .让我们假设该点由下图中的菱形表示。

2. 平移 4 个点，使 RP 位于 (0,0)。假设该点的坐标是(RP_x,RP_y)，因此用这些坐标减去矩形的所有4个角。 p>

3. 使用rotation matrix 旋转点（将点逆时针围绕原点旋转某个角度，由于之前的平移，现在是旋转点）：

下图为逆时针旋转45°的矩形。

4. 将矩形向后平移（将 RP 添加到所有 4 个点）：

我想这就是你想要的:)

【讨论】：

【解决方案3】：

我不完全理解您需要什么，但似乎围绕任意点旋转矩形的过程可能会有所帮助。

假设我们要围绕原点 (0,0) 旋转一个点 (x,y) d 弧度。旋转点的位置公式为：

x' = x*cos(d) - y*sin(d)
y' = x*sin(d) + y*cos(d)

现在我们不想绕原点旋转，而是绕给定点 (a,b) 旋转。我们要做的就是先把原点移到(a,b)，然后应用上面的旋转公式，再把原点移回(0,0)。

x' = (x-a)*cos(d) - (y-b)*sin(d) + a
y' = (x-a)*sin(d) + (y-b)*cos(d) + b

这是围绕点 (a,b) 旋转点 (x,y) d 弧度的公式。

对于您的问题 (a,b) 将是蓝色矩形右侧中间的点，而 (x,y) 将是红色矩形的每个角。该公式给出了 (x',y') 为旋转的红色矩形角的坐标。

【讨论】：

【解决方案4】：

您似乎可以通过最初更巧妙的定位来避免更复杂的旋转？例如，在最后一个示例中，将红色框定位在“-25% 蓝色高度”和“-25% 红色高度”——如果我遵循你的参考方案——然后执行你想要的旋转。

【讨论】：

【解决方案5】：

如果知道原点O和旋转矩形边上的一点P，就可以计算出两者之间的向量：

_{（来源：equationsheet.com）}

你可以通过与这个向量的点积得到向量和x轴之间的角度：

_{（来源：equationsheet.com）}

鉴于此，您可以通过将矩形上的任何点乘以旋转矩阵来变换它：

_{（来源：equationsheet.com）}

【讨论】：