什么是偏序？答案

【问题标题】：What is partial order?什么是偏序？
【发布时间】：2019-06-07 14:25:46
【问题描述】：

我正在阅读 Bartosz Milewski 的程序员类别理论，但我没有得到 partial order 的想法。

我没有得到以下句子的上下文：

你也可以有一个更强的关系，它满足一个额外的条件是，如果 a

为什么a 必须与b 相同？比如a = 4和b = 5，那么就完全不一样了。如果他会提到

....如果 a = b 且 b = a....

那么是的，我同意。

第二部分，我也看不懂：

最后，你可以强加任何两个对象在一个以一种或另一种方式与彼此的关系；这给了你一个线性顺序或总顺序。

他是什么意思？

【问题讨论】：

如果 a=4 和 b=5 那么“b
但他为什么提到le而不是eq？
@zero_coding：因为我们定义的是（部分）order 关系，而不是equality 关系。
集合 S 上的关系 ~ 是 S x S 上的子集，所以我们说 x ~ y 给定 (x,y) 在子集中。见：en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation
您可以将关系视为一个函数，例如Int -> Int -> Bool。这定义了Int 之间的关系。

标签： haskell category-theory

【解决方案1】：

如果 a

所以a = 4 和b = 5 满足第一个不等式

和 b

但它们不满足第二个不等式。所以，你的反例是无效的。

让我们忘记<=，因为我怀疑它会诱使您考虑整数或其他一些您熟悉的数字。所以，我们会用一些任意关系重写它，比如¤

如果 a ¤ b 为真

和 b ¤ a 为真

和这总是意味着 a 和 b 是同一个实体

那么我们称关系 ¤ 为“部分顺序”（在任何集合 a、b 中抽取）

作者所说的是对于某些关系，如果给定规则为真，那么我们称该关系为偏序。这是作者对偏序的定义。如果您发现规则不成立的某些情况 - 这只是意味着您找到了一种不是偏序的关系。

无论如何，定义部分顺序的原因是有时我们有对象的集合，我们无法将它们全部相互比较。

例如，不同科目的一组成绩：也许我可以决定一个学生的英语是否比另一个好，我可以决定一个学生的音乐是否比另一个好，但没有意义讨论一个学生的英语是否比另一个学生的音乐好。

最后一个引号只是意味着如果我们有一个关系至少是一个部分顺序（它满足给定的规则）并且它可以应用于你的整体set（假设我们只讨论英语成绩），那么我们可以称其为该 set 的总排序。

PS。碰巧，规则确实适用于带有整数的通常<=：因此，我们可以将关系<= 称为ℤ 的偏序。因为它是also为每对整数定义的，我们可以also调用<=在ℤ上的总订单。

PPS。是的，偏序也需要传递性：我的回答实际上只解决了问题中引用的相当非正式的定义。您可以在Wolfram MathWorld、Wikipedia 或其他任何地方找到更完整的定义。

【讨论】：

如果我没记错的话，偏序也需要传递性。

【解决方案2】：

一个正自然数被另一个正自然数整除是偏序的一个例子，它不是一个全序（如果 y/x 是一个自然数，x 除以 y）。

1) 如果 x 整除 y，如果 y 整除 z，则 x 整除 z（传递性）。

2) 如果 x 整除 y，y 整除 x，则 x = y（反对称）。

3) x 除以 x（自反性）。

这是偏序的三个属性。

但这不是一个全序，因为你可以找到两个自然数 x 和 y，使得 x 不整除 y，y 不整除 x。

【讨论】：

【解决方案3】：

要了解区别，您需要查看整数以外的集合。考虑复数。当且仅当real(z1) <= real(z2) 时，复数的有效预购可以说z1 <= z2。因此，(3, 5) <= (3, 6) 和 (3, 6) <= (3, 5)。不过，这不是部分订单，因为(3, 5) != (3, 6)。

添加z1 <= z2 也需要imag(z1) <= imag(z2) 的条件使其成为预购，因为现在(3, 5) <= (3, 6) 但反之则不然。它仍然不是一个总顺序，因为(2, 3) <= (3, 2) 和(3, 2) <=(2, 3) 都不是真的。

相反，当且仅当 real(z1) <= real(z2) 和 abs(z1) <= abs(z2) 时，可以说 z1 <= z2。现在(3, 5) <= (3, 6) 仍然成立，但(3, 6) <= (3, 5) 不是因为sqrt(3**2 + 6**2) > sqrt(3**2 + 5**2)。但我们可以说(2, 3) <= (3, 2)，因为2 <= 3 和sqrt(13) <= sqrt(13)。这使得<= 运算符成为一个总订单。（更新：检查 abs 和 arg 上的字典顺序是否 - arg 仅限于 (-pi,pi] 而特殊大小写 0 - 是正确的总顺序，留下作为给读者的练习。）

（通常，我们说复数是不排序的，因为有多种方法可以定义全序，但没有单一的“自然”排序。）

【讨论】：

这仍然只是一个预购，因为它对于共轭（例如 (2,3) 和 (2,-3) ）不是反对称的。
呃，对。叹。我懒得想出一个好的总订单；有什么建议吗？
abs 和 arg 上的字典（arg 仅限于 [0,2pi)；特殊大小写为 0）...？最好“把它作为练习留给读者”，呵呵。 :)
我们说复数没有顺序的原因比这更具体：没有总顺序使它们成为ordered ring。
顺便说一句，real 和 imag 上的简单字典排序也可以。

【解决方案4】：

考虑一下Directed Acyclic Graph：

如果我们说此图上的箭头代表<= 关系，那么我们可以看到a <= c 和c<=d。但是b<=c 和c<=b 都不是这样。因此我们有一个顺序，但它只是部分的，因为它只存在于域中的某些项目对。

一般来说，DAG 定义其成员的偏序。即使从a 到e 的箭头不包括在内，我们仍然可以说a<=c 和c<=e，因此a<=e。

请记住，我们不会将“x

另一方面，所有商品对都存在总订单。例如，整数有一个总顺序。

【讨论】：

c 和 e 看起来非常相似，至少在我的显示器上是这样。也许更高的分辨率会有所帮助？
@ThreeFx 同意。完成。
第二段的关系是第一段的传递闭包（即不一样）。你在第 3 段的讨论也结束了。如果你说 yis 可以从 y 到达；但是，如果它们不一样，那就违反了 DAG 的预设。这就是为什么它们必须相同（否则就不是 DAG）。