Kakuro 和子集总和，其中超集包含连续的正整数，子集的大小固定为 k

Question

我正在用 Java 开发 Kakuro 游戏。数独是一种类似于数独的游戏。

Kakuro 的目标是用 1 到 9 的整数填充那些空白块，使得每个“区域”中没有重复的数字，并且该区域中空白块中的所有数字总和为该地区的“hintblock”。上图中的区域示例用红色标记。

现在我想做的是编写一个可以自动解决给定 kakuro 谜题的 AI。这首先要求您需要从范围 (1,9) 的整数集中找到 K 个元素的所有可能组合，使得这些 K 个元素的总和等于该区域中“提示块”中指示的数字。 （在这种情况下，K 是该区域中空白块的数量）这是“子集问题”的变体，除了超集更加统一（1-9 的连续整数）并且子集具有固定大小K。 更好的是，超集的范围可以提前缩小。例如，请参见图片右侧的块。在这种情况下，总和为 24，K 为 3。通过在该区域中选择任意块并假设所有其他块都处于可能的最大值，我们可以推断任意块必须大于或等于 (24-( 9+8))=7。我们可以通过计算 (24-(1+2))=21 来计算最大值，这并不重要，因为 21>9。因此，超集变为 {7,8,9}。

这个区域是一个简单的例子，因为 K = Superset 大小。但是，如果 K 远小于超集大小，检查所有组合将（我不确定）导致计算 (SuperSize-K)！时间。这是低效的。我现在的问题是最适合这种情况的 子集和问题 的解决方案是否有任何变化？我用 java 编写代码，但欢迎使用任何编程语言，包括 SPL 和 BrainF*ck。

Answer 1

从 1 到 9 的整数集合有 2⁹=512 个子集。（实际上，其中只有 502 个是有趣的，因为大小为 0 和 1 的集合永远不会出现，afaik。）很漂亮易于预先计算这些并按总和（3 到 45 之间，包括 3 到 45 之间）和大小来组织它们。然后就是简单的查找就可以得到目标集了。

在标准 9 整数 Kakuro 的情况下，没有任何 setsize/sum 组合有超过 12 个可能的解；有 12 个解的两种组合是 k=5/sum=25 和 k=4/sum=20。 （这种对偶性并非偶然，结果是您可以存储一半的预计算集。对于给定的n——在本例中为 9——，k 数字总和为s 的任何解决方案通过简单地取每个子集的补码，可以将n-k 数字总和为n*(n+1)/2 - s 转换为解决方案。）

但是，随着n 的增加，子集的最大数量呈指数增长。我使用这个 Python3“单线”计算了最多 30 个：

for j in range(9,31):
  print(j, Counter((len(k),sum(k))
                   for k in combinations(range(1,j+1), j//2)
                  ).most_common(1))

计算最后两个值需要几秒钟，因此这绝对不是枚举可能性的最有效策略。为了便于阅读，我对输出进行了一些清理。

 N       k      sum       count
--      --      ---       -----
 9       4       20          12
10       5       28          20
11       5       31          32
12       6       39          58
13       6       42          94
14       7       52         169
15       7       56         289
16       8       68         526
17       8       72         910
18       9       86        1667
19       9       90        2934
20      10      105        5448
21      10      110        9686
22      11      126       18084
23      11      132       32540
24      12      150       61108
25      12      156      110780
26      13      175      208960
27      13      182      381676
28      14      203      723354
29      14      210     1328980
30      15      233     2527074

在我看来，大量的可能性使得生成具有完整解决方案的 Kakuro 变得更加困难。当然，您可以避免大多数可能的 k/sum 组合，但谜题本身似乎仍然具有内置的不可扩展性。

(注意：这是整数序列在线百科全书中的Sequence A277218；它与Sequence A055606有关，与Magic Carpets有关。)

Answer 2

我建议忽略子集总和，而是将其视为约束满足问题。我的第一遍将是一个回溯算法，优化下一个猜测是针对可能性最小的正方形。

请注意，这是一个 NP 难题。 没有解决方案可以很好地扩展。