将曲线拟合到一组点答案

【问题标题】：Fitting curves to a set of points将曲线拟合到一组点
【发布时间】：2012-10-22 17:26:23
【问题描述】：

基本上，我有一组最多 100 个坐标，以及曲线在第一个点和最后一个点的所需切线。

我研究过各种曲线拟合方法，我的意思是一种算法，它采用输入的数据点和切线，并输出固化方程，例如高斯法和插值法，但我真的很难理解他们。

我不是要代码（如果您选择提供代码，那是可以接受的 :)），我只是在寻求有关该算法的帮助。它最终将被转换为 iPhone 应用程序的 Objective-C，如果这有什么改变的话..

编辑： 我知道所有点的顺序。它们并不太靠近，因此必须通过所有点 - 也就是插值（除非有人可以提出其他建议）。据我所知，代数曲线是我正在寻找的。顺便说一下，这一切都是在2D平面上完成的

【问题讨论】：

很多问题：您是在谈论插值（将遍历所有点）还是近似（可能有一段距离）？您想要整个曲线的单个方程，还是可以接受分段描述？你需要什么样的输出曲线？贝塞尔样条曲线、代数曲线，还是其他什么东西？你知道你的点在曲线上的顺序吗？我们在这里讨论的是 2D 平面中的点吗？

【解决方案1】：

我建议考虑三次样条。在Numerical Recipes book (chapter 3.3)中有一些解释和代码可以用纯C语言计算它们

【讨论】：

【解决方案2】：

大多数插值方法最初都使用函数：给定一组 x 和 y 值，它们会计算一个计算 y 值的函数对于每个 x 值，满足指定的约束。由于函数只能为每个 x 值计算单个 y 值，因此这样的曲线不能在自身上循环。

要将其转换为真正的 2D 设置，您需要两个函数分别计算 x。 y 值基于一些通常称为 t 的参数。所以第一步是为您的输入数据计算 t 值。您通常可以通过对欧几里德距离求和来获得一个很好的近似值：考虑一条将所有点与直线段连接起来的折线。那么参数就是每个输入对沿这条线的距离。

所以现在你有两个插值问题：一个从 t 计算 x，另一个从 t 计算 y >。您可以将其表述为spline interpolation，例如使用三次样条。这为您提供了一个大型线性方程组，您可以迭代求解，直至达到所需的精度。

样条插值的结果将是对合适曲线的分段描述。如果你想要一个单一的方程，那么拉格朗日插值就可以满足这个要求，但是对于许多输入数据集，结果可能会有奇怪的曲折。

【讨论】：