计算二元样条上的线积分答案

【问题标题】：Calculate Line Integral over Bivariate Spline计算二元样条上的线积分
【发布时间】：2022-01-04 19:15:49
【问题描述】：

我可以用scipy.interpolate.RectBivariateSpline 很容易地构造一些二维数据的样条曲线并查询面积积分。但是没有一个函数可以轻松/快速地计算此类样条上的线积分。

from scipy.interpolate import RectBivariateSpline
import numpy as np

# example data
X, Y = np.meshgrid(np.arange(0, 100), np.arange(0, 100))
Z = np.sin(X / 10) + np.cos(Y / 10)

# construct the spline
rbs = RectBivariateSpline(X[0, :], Y[:, 0], Z)

# get integral
area_integral = rbs.integral(0, 10, 30, 50)

print(area_integral)

>>>40.9287528271697

我正在寻找类似rbs.line_integral(0,10, 30,50) 的东西，它将给我从 [0,30] -> [10,50] 的 line 积分；不是这两个点形成的矩形的面积。

fitpack中有这样的功能吗？我可以看到，在后台，scipy 拨打了dfitpack.dblint() 的电话，但我不确定从那里去哪里。

我还应该添加：我不想在一条线上制作一系列点，使用例如查询这些点rbs.ev(x, y)，然后对结果求和。这很慢，可能会引入数值积分错误。

编辑

RectBivariateSpline.integral() 给我的是：

\int_A f(x, y) dxdy

其中 f(x, y) 是样条曲线逼近的函数，A 是点 p1=(x0, y0) p2=(x1, y1) 之间的矩形面积。所以，dxdy是微分面积，A是面积，求积分是体积。

我正在寻找的是：

\int_C f(x, y) ds

其中f(x,y)是样条逼近的函数，C是p1=(x0,y0)和p2=(x1,y1)之间的直线。所以ds是微分长度，S是长度，求积分是面积。

【问题讨论】：

请给出你要计算的积分的准确表达式（如果你不能，解释你为什么要计算它）。
@YvesDaoust 我在编辑中添加了这些表达式。我正在尝试通过空间 (x,y) 的直线路径计算 f(x,y) 给出的成本。
感谢您的信息，但这还不够。你的 ds 等于 √dx²+dy² 还是 √dx²+dy²+dz² ？

标签： python scipy interpolation

【解决方案1】：

二元样条曲面是分段多项式。例如，在双三次表达式的情况下，通过代入参数方程X = X0 + t.δX、Y = Y0 + t.δY，您可以在t 中获得一个六次多项式。通过跟踪线段并将其与网格相交，在每个网格单元中找到参数X0、Y0、δX 和δY 以及积分范围。那么如果 scipy 能够给你交叉的二元多项式的系数，你可以在t 中获得多项式的系数。

如果ds 的表达式是√dx²+dy²，则等于√δX²+δY².dt，并且反导数是基本的。因此，枚举交叉单元格中的多项式并计算所有所需的系数“就足够了”。

如果表达式是√dx²+dy²+dz²，您会被卡住，因为链式法则dz = (δX.P(t) + δY.Q(t)) dt，其中P、Q 是多项式，而积分没有闭式表达式。

注意。由于多项式展开的复杂性，在合理的步长下，直接 Simpson 积分评估可以更快、更准确，这并非不可想象。

【讨论】：