【问题标题】：Nested summation in pythonpython中的嵌套求和
【发布时间】：2021-03-04 13:10:49
【问题描述】：

我正在尝试在 python 中执行以下嵌套求和：

所以我尝试了以下代码：

import numpy as np
gamma = 17
R = 0.5
H = np.array([0.1,0.2])
alpha = np.array([0.1,0.2])
n = 2

F = 0
for i in range(n):
    for j in range(i+1):
        F = F + 3*gamma*H[i]*(R+H[j]*np.tan(alpha[j]))**2

但是，当然，这并没有给我正确的答案，因为它在 j 循环中再次对所有项求和。我的问题是我该如何解决？请记住，这只是一个包含j 的多个求和的大表达式的一小部分，就像上面对i 的求和一样，所以它必须进行一些优化。提前谢谢！

【问题讨论】：

我已经大量更新了我的答案。如果你关心效率，我建议你看看the updated version :)
非常感谢@jonathan.scholbach，我期待在完整的方程式中采用您的解决方案:)

标签： python numpy for-loop math sum

【解决方案1】：

for 循环在这种情况下与∑ 非常相似，即公式中∑ 之外的所有内容都应在for 循环之外，即：

...
F = 0
for i in range(n):
    inner_sum = 0
    for j in range(i+1):
        inner_sum += H[j] * np.tan(alpha[j])
    F += 3 * gamma * H[i] * (R + inner_sum) ** 2

【讨论】：

好的，我认为还有另一种选择，因为我在原始表达式中有大量的内部和，但没关系。感谢您的帮助！

【解决方案2】：

我至少看到以下选项（按提高效率排序）：

只是可读的 Pythonic 方式

python 的一个优点是您可以编写这些表达式，非常类似于用数学编写的方式。在您的情况下，您希望 sum 超过 iterable 的数字：

f = sum(
    3 * gamma * H[i] * (
        R + (
            sum(
                H[j] * np.tan(alpha[j])
                for j in range(i+1)
            )
       )
    )**2
    for i in range(n)
)

缓存内部总和

在你的情况下，内部总和

sum(
    H[j] * np.tan(alpha[j])
    for j in range(i+1)
)

被计算多次，而它只是在每次迭代中递增。让我们将这个术语称为inner_sum(index)。那么inner_sum(index-1)已经在之前的迭代中计算过了。因此，当我们在每次迭代中重新计算它时，我们会浪费时间。一种方法是使inner_sum 成为一个函数并缓存其先前的结果。为此，我们可以使用functools.cache：

from functools import cache


@cache
def inner_sum(index: int) -> float:
   if not index:
      return H[0] * np.tan(alpha[0])
   return inner_sum(H, index - 1) + H[index] * np.tan(alpha[index])

现在，我们可以写：

f = sum(
    3 * gamma * H[i] * (
        R + inner_sum(i)
    )**2
    for i in range(n)
)

使用生成器生成部分和

这仍然不是内存效率的，因为我们将所有 H[i] for i inner_sum_previous 中。或者你可以让inner_sum 一个正确的generator 一个接一个地吐出（实际上是：yielding）部分总和：

from typing import Generator


def partial_sum() -> Generator[float, None, None]:
    partsum = 0
    index = 0
    while True:
        try:
            partsum += H[index] * np.tan(alpha[index])
            yield partsum
            index += 1
        except IndexError:
            raise StopIteration

有了这个，我们就可以写了；

partial_sum_generator = partial_sum()
f = sum(
    3 * gamma * H[i] * (
        R + next(partial_sum_generator)
    )**2
    for i in range(n)
)

【讨论】：

【解决方案3】：

首先在j循环中计算括号内的部分，将其存储在一个变量中，然后将其乘以表达式的其余部分。

【讨论】：

【解决方案4】：

只是为了紧凑和可读性，我会选择这样的东西：

for i in range(n):
     3*gamma*H[i]*(R + np.sum([H[j]*np.tan(alpha[i]) for j in range(i)]))**2

显然，您也可以将第一个 for 循环转换为列表上的求和，就像我对第二个求和所做的那样，以使表达式更紧凑，但我认为这种方式更具可读性。

【讨论】：