当分母超出 unsigned long long int 范围时如何使用模？答案

【问题标题】：How to use modulo when denominator is out of unsigned long long int bounds?当分母超出 unsigned long long int 范围时如何使用模？
【发布时间】：2019-08-07 16:12:58
【问题描述】：

给定 1 ≤ N ≤ 10¹⁸ 和 1 ≤ K ≤ 10¹⁸，我该如何操作 N % K²？当 K 接近值 10¹⁸ 时，K²（分母）超出 unsigned long long int 的范围，因此我无法存储值 K2。

【问题讨论】：

How to ask a good question & Minimal, Reproducible Example

标签： c++ modulo

【解决方案1】：

如果 K² 大于 N 则 N % K² 等于 N。

例子：

253 % 17² = 253 % 289 = 253

假设 64 位 unsigned long long，可以平方而不溢出的最大值为 2³² - 1 等于 0xFFFFFFFF（或 4'294'967'295）。

因此您可以简单地拥有以下代码：

unsigned long long compute(unsigned long long n, unsigned long long k)
{
    if (k > 0xFFFFFFFF)
    {
        // k² is bigger than n (require more than 64 bits), so the modulo is n
        return n;
    }

     return n % (k * k);
}

【讨论】：

【解决方案2】：

你真的不需要 bigint 库，因为

如果 K > 10⁹ 则 K² > 10¹⁸ > N，因此 N % K² = N. 无需计算K²
如果 K ⩽ 10⁹ 那么您可以使用正常的uint64_t 计算N % (K*K) 而不会溢出

FWIW 在大多数 64 位模式下的现代编译器中也有 128 位类型。 GCC、Clang 和 ICC 称之为 __int128

见Is there a 128 bit integer in gcc?

【讨论】：

嗯，你必须采取确切的限制（如我的回答），否则在某些情况下你不会得到正确的答案（例如，如果 N 是 5 × 10^18 并且 K 是2 × 10^9)。
@Phil1970 条件是 N ⩽ 10¹⁸ 所以你说的永远不会发生