检查数字的可分性

Question

这来自math.se post 这里。我正在检查 2^(n-1)+3 是否可以被 n 整除。这是我写的代码，

def ck(n):
    c=pow(2,n-1,n)+3
    return not c%n

for i in range(10**7,2*10**7):
    if ck(i):
        print(i)
        break

print('Search Complete')

函数ck首先用内置的pow计算2^(n-1)%n，加3，最后得到余数。从数学上讲，这与(2^(n-1)+3)%n 相同，但速度要快得多，因为计算pow(a,b,c) 比pow(a,b)%c 快

我想知道我是否可以进行其他优化（在函数中或在 for 循环中）？

range(10**7,2*10**7) 中的值只是我逐步增加的虚拟值，以便搜索不会失控。

[在有人理解错误之前，我完全没有破解哈希]

Answer 1

我对@ch3ka 的回答尝试了几种不同的修改，这是我找到的最快的版本。

我维护gmpy2，所以我用它来进行数值计算。 gmpy2 使用 GMP 多精度库，并且通常比使用 Python 的本机整数类型更快。使用gmpy2.powmod(...) 比pow(...) 快​​得多。

从原始问题的链接，需要gcd(i,30) == 1。所以接下来我尝试使用gmpy2.gcd(...) 来消除 i 不可能的值。这将运行时间大致减少了一半。

然后我通过七次通过范围消除了对gmpy2.gcd(...) 的调用。这将运行时间再次缩短了大约一半。最后，我使用concurrent.futures 将测试分布在 4 个内核上。

这是最终版本：

import sys
import time
from gmpy2 import powmod
from concurrent import futures

BLOCKSIZE = 10**8

def blocktest(block):
    start = max(10, block * BLOCKSIZE)
    end = (block + 1) * BLOCKSIZE

    now = time.time()
    result = []
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 1, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 7, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 11, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 13, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 17, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 19, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 23, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)
    result.extend(i for i in range(30*(start//30) + 29, end, 30) if powmod(2, i-1, i) == i-3)

    return (start, end - 1, time.time() - now, result)

if __name__ == "__main__":
    print("starting time: ", time.strftime("%H:%M:%S"))
    with futures.ProcessPoolExecutor(max_workers=4) as executor:
        for s, e, t, r in executor.map(blocktest, range(10)):
            print("range({:,}, {:,}) time: {} et: {:6.2f} {!r}".format(s, e, time.strftime("%H:%M:%S"), t, r))

测试到 10**9 大约需要 1 分 15 秒。仅用了 16 分钟多一点就找到了第一个成功的值：13957196317。

Answer 2

这个版本稍微快了一点，因为我们在这里放弃了函数调用开销：

print(next(i for i in range(lowerbound,upperbound) if not (pow(2,i-1,i)+3)%i), 'Search Complete')

通过我的快速和肮脏的测量，这将提高约 10% 的速度：

python /tmp/so1.py  46.54s user 0.00s system 99% cpu 46.558 total

对

python /tmp/so2.py  52.50s user 0.01s system 99% cpu 52.530 total

如果不将 % 的结果转换为 bool，我也尝试过，但使用 0 测试对象身份会更快 - 但事实并非如此。