两个数字的 gcd 其中一个太大

Question

我遇到了一个问题，要求计算 gcd(a-b,a^n+b^n)%(10^9+7) 其中 a,b,n 可以大到 10^12。

对于非常小的数字，我能够解决 a、b 和 n 的问题，而费马定理似乎也不起作用，我得出的结论是，如果 a、b 互质，那么这将始终给我 gcd 为2 但其他的我都买不到？

我只需要一点提示，我做错了什么来获得大量的 gcd？我还尝试 x^y 通过在每一步取模来查找 gcd，但这也没有用。

只需要方向，我会走自己的路。

提前致谢。

Answer 1

您是正确的，a^n + b^n 太大而无法计算，并且每一步的工作 mod 10^9 + 7 并不能提供计算答案的方法。但是，您仍然可以通过与 不同 模数进行平方来使用模幂运算，即 a-b

主要观察：

1) gcd(a-b,a^n + b^n) = gcd(d,a^n + b^n) where d = abs(a-b)
2) gcd(d,a^n + b^n) = gcd(d,r) where r = (a^n + b^n) % d
3) r can be feasibly computed with modular exponentiation by squaring

1) 的要点是不同的编程语言在 mod 运算符中处理负数的约定不同。取绝对值避免了这种复杂性，尽管从数学上讲它并没有什么区别。关键思想是，做计算gcds的欧几里得算法的第一步是完全可行的。您所需要的只是两个数字中较小的一个除以较大的余数。第一步完成后，所有数字都在可行范围内。