递归调用斐波那契数列

Question

为了递归地找到斐波那契数，关系是 f(n)=f(n-1)+f(n-2)。 f(n) 的递归函数调用 f(n-i) 多少次（根据 n 和 i）？

我了解在跟踪递归调用时会生成二叉树。但是，似乎没有任何固定模式来确定对 f(n-i) 的递归调用次数。有什么建议吗？

例如，在寻找 f(5) 时，

f(5)=f(4)+f(3)  
f(5)=f(3)+f(2)+f(2)+f(1)  
f(5)=f(2)+f(1)+f(1)+f(0)+f(1)+f(0)+f(1)  
f(5)=f(1)+f(0)+f(1)+f(1)+f(0)+f(1)+f(0)+f(1)

这里调用 f(5)-1,f(4)-1,f(3)-2,f(2)-3,f(1)-5,f(0)-3 的次数。

谢谢。

Answer 1

序列 1、1、2、3、5、3 应该看起来很熟悉，因为忽略最后一个数字，它又是斐波那契数列。

令c(x)为fib(x)在计算fib(n)时被调用的次数。

• c(x) = 0 对于所有 x > n，因为永远不会调用 fib(x)。
• c(n) = 1，因为 fib(n) 只被调用一次。
• c(x) = c(x + 1) + c(x + 2) 对于所有 0 ，如 fib(x) em> 被 fib(x + 1) 和 fib(x + 2) 调用。
• c(0) = c(2)，一种特殊情况，因为 fib(0) 是从 fib(2) 调用的 但不是 fib(1)。

所以序列c(n), c(n-1), ..., c(2), c(1) 是斐波那契数列，c(0) 等于 c(2)。

就i和n而言，

• fib(n - i) 被调用 fib(i + 1) 次 0 ≤ i
• fib(n - n) = fib(0) 被调用 fib(n - 1) 次。