如何找到分形数中的第 n 个数字答案

【问题标题】：How can you find the nth digit in a fractal number如何找到分形数中的第 n 个数字
【发布时间】：2019-09-21 08:42:32
【问题描述】：

序列看起来像这样 112123123412345... 如果输入是 55，它应该返回 1，而不是 10。如果输入是 56，它应该返回 0，而不是 1。你明白了。

【问题讨论】：

不，不明白你的问题。你在问什么？要调试代码，您没有显示？为了让你的工作免费完成，期待一个工作程序的代码来实现这个“想法”？抱歉，但您需要展示自己的努力，展示所有需要的信息并提出具体问题。否则问题在这里是题外话。
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标签： string math numbers sequence

【解决方案1】：

所以我们有一个由以下组成的序列

1             1 digit      1 digit total
12            2 digits     3 digits total 
123           3 digits     3*(3+1)/2 = 6 digits total 
1234          4 digits     4*(4+1)/2 = 10 digits total
...
123..89       9 digits     9*(9+1)/2 = 45 digits total
123..8910     11 digits    10*(10+1)/2 + 1 = 56
123..891011   13 digits    11*(10+1)/2 + 3 = 69
123..89101112 15 digits    12*(12+1)/2 + 3*(3+1)/2 = 84 digits

这是OEIS Sequence A165145，另见相关序列OEIS A058183。

总位数的公式是

f(n) = n*(n+1)/2  + {(n-9)*(n-8)/2 : if n>=10} + {(n-99)*(n-98)/2 : if n>=100) + ...

一些关键点 f(9) = 45, f(99) = 99*100/2 + 90*91/2 = 9045, f(999) = 1,395,495。

寻找第k个数字的大纲算法是

通过将 k 与边界值 45、9045、1395495 进行比较，找出您在 n
恢复n的值
找到第 n 个数字的实际数字，该数字将是 k-f(n)。

如果我们取 10

n*(n+1)/2 + (n-9)*(n-8)/2 
  =  1/2( n^2 + n + n^2 - 17 n + 72)
  =  n^2 - 8 n + 36

所以给定 45

 n = ceil( ( 8 + sqrt(64 - 4 (36 - k)))/2)

对于超出范围的 k，我们需要一个不同的二次公式。

例如取 k = 100，使用公式给出 n=13。直到 12 的所有数字都有 f(12)=84 位，所以第 13 个字符串的第一个数字在位置 85。所以我们正在寻找第 16 个数字。我们可以使用公式

digit(l) :=  l <= 9 ? l : (l%2==0 ? floor((l+10)/20) : ((l-11)/2)%10 )

找到实际的数字，即 1。

【讨论】：