从序列中收集子序列

Question

假设我们有以下序列：

[1, 2, 1, 1]

我们想根据以下规则计算这个给定序列的所有子序列：

if s_i <= s_i+1 then s_i+1 is part of a subsequence with s_i

通过从序列的第一个元素（此处为 1）开始计算子序列，并将其与它的右邻居（此处为 2）进行比较。如果它们适用于条件，则形成子序列。之后，2 必须与它的右邻居1 进行比较，如果它们适用，它就会加入子序列。在这里他们没有，所以它不加入。

此过程以2 和前一个邻居的邻居1 继续，直到序列结束。之后，以类似方式继续处理2 的邻居。

下图展示了序列中第一个元素1的子序列构建过程：

因此，问题本质上是递归的。代码如下：

def calc(seq):
    for i in range(0, len(seq)):
          calc_subseq(i, seq)

def calc_subseq(i, seq):
       a = seq[i]
       for j in range(i+1, len(seq):
           b[j] = seq[j]
           if b <= a:
               calc_subseq(j, seq);
           else:
                #build subsequence
        #build subsequnce

现在的问题是：

计算后如何检索子序列？我使用了一个堆栈，并在每次调用时都传递了它。此外，我还传递了一个计数器，该计数器随着每次匹配而增加，并随着每个函数调用传递，然后也返回。如果不匹配，我会从堆栈中弹出与计数器计数一样多的项目。当在calc_subseq(seq) 中到达 for 循环的结尾时，我也会这样做。但我正在寻找更好的解决方案。

有人知道解决类似问题的算法吗？如果有更有效的方法会很有趣。我想到了某种动态编程。

编辑：

根据要求，这里是输入序列[1,2,1,1]的所有结果：

1 (0), 2 (1)
2 (1)
2 (1)
2 (1) -> end
1 (0), 1 (2), 1 (3) 
1 (3) -> end
1 (2) -> end 
1 (0), 1(3)
1 (3) -> end
1 (0) -> end
2 (1)
2 (1)
2 (1) -> end
1 (2), 1 (3)
1 (3) -> end
1 (2) -> end
1 (3) -> end

注意：索引以(x) 提供。 -> end 表示已到达第二个 for 循环的末尾。因此，它显示了由于没有邻居剩下而无法比较的最后一个元素。

Answer 1

有一个大问题。如果原始序列的长度为n，则最长的上升子序列的预期长度为O(sqrt(n))，并且该序列的每个子集都是另一个上升子序列，因此至少有O(exp(sqrt(n)))。如果n 大小适中，那么此类子序列的数量很快就会变得非常非常大。

因此，我将向您展示如何创建一个紧凑的树状结构，您可以从中计算上升子序列的计数，以便您可以在有限时间内轻松生成每个答案。我没有跟踪索引，但是如果您需要，该功能将很容易添加：

def rising_tree (seq):
    tree = {}
    for item in reversed(seq):
        this_count = 1 # For the subsequence of just this item
        this_next = {}
        for next_item, data in tree.items():
            if item <= next_item:
                this_count = this_count + data[0]
                this_next[next_item] = data
        tree[item] = [this_count, this_next]
    total_count = 0
    for _, data in tree.items():
        total_count = total_count + data[0]
    return [total_count, tree]

当应用于[1, 2, 1, 1] 的示例时，您将获得以下数据结构：

[   5, # How many rising subsequences were found
    {   1: [   4, # How many start with 1
               {   1: [   2,  # How many start with 1, 1
                          {   1: [   1, # How many start with 1, 1, 1
                                     {   }]}],
                   2: [   1, # How many start with 1, 2
                          {   }]}],
        2: [   1, # How many start with 2
           {   }]}]

现在我们可以将它们全部提取出来：

def tree_sequence_iter (tree):
    items = sorted(tree[1].keys())
    for item in items:
        yield [item]
        subtree = tree[1][item]
        if (subtree[1]):
            for subseq in tree_sequence_iter(subtree):
                yield [item] + subseq


for ss in tree_sequence_iter(rising_tree([1, 2, 1, 1])):
    print(ss)

请注意，我不需要调用sorted，因为我在那里滑过，但这样我们不仅得到了唯一的子序列，我们实际上是按照字典顺序得到的！ （但请记住，它们可能有很多。）

如果你真的不想要生成器（并且认为我们有内存来存储它们），我们可以简单地list(tree_sequence_iter(rising_tree(seq))) 来生成我们的列表。