MATLAB中abtol和reltol在进行数值求积时有什么区别？
我有一个三重积分，它应该生成一个介于 0 和 1 之间的数字，我想知道我的应用程序的最佳容差是多少？
关于减少integral3 执行时间的任何其他想法。
还有谁知道integral3 或quadgk 哪个更快？
【问题讨论】：
integral，因为您已经在使用 quadgk 进行三重积分。还有已弃用的triplequad。
在执行积分时，MATLAB（或大多数其他积分软件）会计算一个低阶解 qLow 和一个高阶解 qHigh。
有许多不同的方法可以计算 真正的错误（即，qLow 或 qHigh 与实际解决方案 qTrue 的距离有多远），但 MATLAB 只是计算一个绝对误差为高阶积分解与低阶积分解之差：
errAbs = abs(qLow - qHigh).
如果积分确实是一个很大的值，那么这个差异在绝对意义上可能很大，但在相对意义上不会很大。例如，errAbs 可能是1E3，但qTrue 是1E12；在这种情况下，该方法可以说是相对收敛的，因为至少达到了 8 位数的精度。
所以 MATLAB 也考虑了相对误差：
errRel = abs(qLow - qHigh)/abs(qHigh).
您会注意到我将qHigh 视为qTrue，因为这是我们的最佳估计。
在给定的子区域内，如果误差估计低于绝对极限或低于当前积分估计的相对极限，则认为积分已收敛。如果不是，则划分区域，并重复计算。
对于integral函数和integral2/integral3函数的迭代法，低-高解是Gauss-Kronrod 7-15对（同一个7-th order/15-th order set由quadgk 使用。
对于使用平铺方法的integral2/integral3 函数，低高解决方案是 Gauss-Kronrod 3-7 对（我从未使用过此选项，所以我不确定它与其他选项相比如何） .
由于所有这些方法都归结为 Gauss-Kronrod 求积法则，我想说坚持使用 integral3 并让它根据需要进行自适应细化是最好的方法。
【讨论】：
integral、integral2 和 integral3 也更有可能在未来的 Matlab 版本中看到改进和性能优化。