如何向量化二次形式（x' * A * x）的评估？答案

【问题标题】：How to vectorize the evaluation of a quadratic form (x' * A * x)?如何向量化二次形式（x' * A * x）的评估？
【发布时间】：2015-02-17 18:12:25
【问题描述】：

如果我有一个矩阵 A，并且我想针对 x 的多个值评估 x' * A * x，我该如何对其进行向量化？

（我可以做X' * A * X 并取对角线，但这显然效率低下。）

【问题讨论】：

每个x 都是一个列向量，对吧？

标签： matlab matrix vectorization

【解决方案1】：

一种思考方式是，您试图在X 中的向量和AX 中的向量之间获取一堆点积。 Matlab 有一个功能：

N = 10; % number of x's
M = 100; % length of x's
X = rand(M,N);
A = rand(M, M);

% way 1
way1 = diag(X' * A * X);

% way 2
way2 = dot(X, A*X)';

% compare
[way1 way2]

【讨论】：

啊，好吧。我有点希望有一个更优雅的解决方案，可以让我将其保留为矩阵乘法，但似乎可能没有。无论如何谢谢！
这不是真的低效吗？它计算的操作至少比需要的多 n**2 次。没有更好的办法吗？
@FarhoodET 你说的是方式 1 还是方式 2？

【解决方案2】：

这个怎么样？

sum((A*X).*X,1)

或者，如果您正在处理复杂的值，

sum((A*X).*conj(X),1)

检查：

>> A = rand(4,4);
>> X = rand(4,3);
>> sum((A*X).*X,1)
ans =
    5.4755    2.6205    3.4803
>> diag(X'*A*X)
ans =
    5.4755
    2.6205
    3.4803

【讨论】：

等同于接受答案中的dot( X, A*X )。

【解决方案3】：

这可能是一种方法，但不确定这是否比基于 direct matrix multiplication + diag 的方法更有效 -

%// Perform X'*A equivalent multiplication
mult1 = bsxfun(@times,permute(X,[1 3 2]),A)

%// Perform rest of the equivalent multiplication
mult2 = bsxfun(@times,mult1,permute(X,[3 1 2]))

%// Perform the summations required to reduce to desired output's size
out = sum(reshape(mult2,[],size(X,2)),1)

你可以重新安排一下乘法 -

mult1  = bsxfun(@times,permute(X,[1 3 2]),permute(X,[3 1 2]))
mult2 = bsxfun(@times,mult1,A)
out = sum(reshape(mult2,[],size(X,2)),1)

或者将结尾的bsxfun(@times 和sum 合并为更简化、可能更高效的版本-

mult1  = bsxfun(@times,permute(X,[1 3 2]),permute(X,[3 1 2]))
out = reshape(permute(mult1,[3 1 2]),size(X,2),[])*A(:)

或者进一步简化它，使其成为使用最少工具并且可能是最高效的单线器！ -

out = reshape(bsxfun(@times,X.',permute(X,[2 3 1])),[],numel(A))*A(:)

【讨论】：