第 15 位后十进制精度丢失 - 错误 PI

Question

尝试打印超过 15 个小数位的 PI 会导致小数点后 15 位打印不正确。尽管分配了 30 个正确的十进制值，并且尽管使用 long double 来保存该值，但仍然如此。下面的测试用例清楚地显示了错误。

这是出乎意料的。如果数字中有任何错误，我不希望在耗尽 IEEE-754 有效位后的第 25 位之前看到任何错误。这里有什么规则可以解释我无法打印我刚刚分配给下面 sPI 的 30 位数字。这也会影响打印math.h 中包含的M_PI 表示的能力。

#include <stdio.h>

int
main (void) {

    // static PI approximation (glibc man 1.17)
    long double sPI = 3.14159265358979323846264338327;
    char strPI[]   = "3.14159265358979323846264338327";

    printf ("\n %s (strPI - string - correct)\n", strPI);
    printf (" %.29Lf (sPI - long double - INCORRECT)\n\n", sPI);

    return (0);
}

输出：

3.14159265358979323846264338327 (strPI - string - correct)
3.14159265358979311599796346854 (sPI - long double - INCORRECT)
                 ^^^^^^^^^^^^^^

大概，这个十进制错误将适用于任何十进制精度大于 16 的十进制数。当打印为字符串时，PI 打印得很好（显然），但是当打印为双精度时——小数点精度在小数点后 15 位后分解。是什么原因造成的？

非常有趣，正如建议在浮点文字末尾添加 L 确实有帮助：

 3.14159265358979323846264338327 (strPI - string - correct)
 3.14159265358979323851280895941 (sPI - long double - INCORRECT)

这提供了 3 个额外的小数精度。为清楚起见，这是在旧的 AMD Phenom X4 9850 上运行在 Linux 3.14.1 内核和 gcc 4.8.2 上的。（基于 AMD Turion 的笔记本电脑和 Intel P4 给出相同的结果）

尝试将quadmath.h 和__float128 类型分配给sPI，结果与long double 相同。还有几个数字可用，但精度仍然在第 19 位出现故障：

3.14159265358979323846264338327 (strPI - string - correct)
3.1415926535897932385128089594061862 (sPI - long double - INCORRECT)

Answer 1

您没有将“long double”值存储到变量中，而是将默认的double 存储到变量中。编译器读取浮点值，将其存储为默认类型，然后仅将其转换为 long double “之后”。当您将其值与“通常”分配的 double 进行比较时，您可以看到这一点。

要提示编译器将常量存储为long double，请在浮点常量的末尾添加修饰符后缀L 或l。

例子：

#include <stdio.h>

int main (void)
{
    // static PI approximation (glibc man 1.17)
    double sPI_d     = 3.14159265358979323846264338327;
    long double sPI  = 3.14159265358979323846264338327;
    long double sPI_L= 3.14159265358979323846264338327L;
    char strPI[]     ="3.14159265358979323846264338327";

    printf ("\n %s (strPI - string - correct)\n", strPI);
    printf (" %.29f (sPI - double)\n", sPI_d);
    printf (" %.29Lf (sPI - long double - INCORRECT)\n", sPI);
    printf (" %.29Lf (sPI - long double - BETTER)\n", sPI_L);

    return 0;
}

输出：

 3.14159265358979323846264338327 (strPI - string - correct)
 3.14159265358979311599796346854 (sPI - double)
 3.14159265358979311599796346854 (sPI - long double - INCORRECT)
 3.14159265358979323851280895941 (sPI - long double - BETTER)

另请参阅What is the precision of long double in C++?——long double 的有效数字不能超过 18 位左右。

Answer 2

双精度浮点值表示为 64 位值，具有 15-16 位十进制数字的有限精度。因此，long double 似乎在您的系统上实现为 64 位双精度。

如果您不熟悉这些问题，我强烈推荐 David Goldberg 的永恒文章What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic。