Python：如何优化所有可能最短路径的计数？

Question

在3x3 网络中，我希望能够确定任意两个节点之间的所有最短路径。然后，对于网络中的每个节点，我想计算有多少最短路径通过一个特定节点。

这需要使用nx.all_shortest_paths(G,source,target) 函数，该函数返回generator。这与使用nx.all_pairs_shortest_path(G) 不同，正如here 所建议的那样。不同之处在于，在前一种情况下，该函数计算任意两个节点之间的所有最短路径，而在后一种情况下，它只计算同一对节点之间的一个最短路径节点。

鉴于我需要考虑所有最短路径，我想出了以下脚本。这就是我生成正在使用的网络的方式：

import networkx as nx
N=3
G=nx.grid_2d_graph(N,N)
pos = dict( (n, n) for n in G.nodes() )
labels = dict( ((i, j), i + (N-1-j) * N ) for i, j in G.nodes() )
nx.relabel_nodes(G,labels,False)
inds=labels.keys()
vals=labels.values()
inds.sort()
vals.sort()
pos2=dict(zip(vals,inds))
nx.draw_networkx(G, pos=pos2, with_labels=False, node_size = 15)

这就是我打印任意两个节点之间所有最短路径的方式：

for n in G.nodes():
    for j in G.nodes():
        if (n!=j): #Self-loops are excluded
            gener=nx.all_shortest_paths(G,source=n,target=j)
            print('From node '+str(n)+' to '+str(j))
            for p in gener:
                print(p) 
            print('------')

结果是从节点x 到节点y 的路径，其中仅包括沿途的节点。我得到的摘录是：

From node 0 to 2 #Only one path exists
[0, 1, 2] #Node 1 is passed through while going from node 0 to node 2
------
From node 0 to 4 #Two paths exist
[0, 1, 4] #Node 1 is passed through while going from node 0 to node 4
[0, 3, 4] #Node 3 is passed through while going from node 0 to node 4
------
...continues until all pairs of nodes are covered...

我的问题：如何修改最后一个代码块以确保我知道总共有多少最短路径通过每个节点？根据我提供的摘录结果，节点1经过2次，节点3经过1次（不包括开始和结束节点）。这个计算需要进行到底，才能算出最终通过每个节点的路径数。

Answer 1

我建议制作一个将每个节点映射到 0 的字典

counts = {}
for n in G.nodes(): counts[n] = 0

然后对于你找到的每条路径——你已经找到并打印了它们——遍历路径上的顶点，增加你的字典中的适当值：

# ...
for p in gener:
    print(p)
    for v in p: counts[v] += 1

Answer 2

您要计算的是未归一化的betweenness centrality。

来自Wikipedia：

中介中心性是节点在网络中的中心性的指标。它等于从所有顶点到通过该节点的所有其他顶点的最短路径数。

更一般地说，我建议你看看所有standard measures of centrality already in Networkx。