单个图中的多个最小生成树

Question

我正在寻找一种我不确定如何定义的算法，但我的想法是在单个图中有多个不相交的最小生成树。

考虑这个无向图，其中所有节点都连接到图中的每个其他节点。 （懒得画，但想象 9 个顶点退出/进入每个节点）

此图的最小生成树可能如下所示：

我正在寻找一种可以输入以下参数的算法： 最大顶点公关。节点和最大树跨度。

例如，我告诉算法：没有节点可以直接连接到超过 2 个其他节点，并且图中没有任何树可能包含超过 3 个顶点（4 个节点），这样的结果是一个解决方案。

它最终将用 Python 3.0 编写，但现在我只是在寻找一些关于我如何处理它的输入。

Answer 1

首先，请注意这不是一个小问题。有很多算法可以找到所有最小生成树 - 但包含不相交图会使这变成更多的分区问题。

• 这将涉及动态编程以减少路径爆炸。
• 从分区开始。对于每个分区，收集可能的生成树。
• 这些列表的产物是您为该分区设置的解决方案。
• 编写一个函数来返回给定节点集的所有生成树 - 记住结果，这样您就不必在每次更改节点号时重新生成树列表。

现在是分区。您在这里进入 Grundy 数字：将目标值表示为可能整数之和的所有可能方式。这是一个有据可查的 DP 算法，很容易在 Stack Overflow 上使用“算法 Python ...”找到。为了说明，我将只使用 4 个节点：QWER。 4 个项目的可能分区，每个分区至少有 2 个节点，分别是

4
2 2

这里的一个关键问题是您的节点是否可互换——例如，是

QW  ER
QE  WR
QR  WE

...为您提供不同的解决方案？如果是这样，您现在有四个分区要处理；如果没有，你只有两个。

对于每个分区，生成所有合法的生成树。 2 节点解决方案是微不足道的； 4 节点解决方案包括配置（使用参数节点 abcd）：

a-b-c-d（线性） a-b + c-a-d（星号，中间有a）

同样，如果您的节点是可互换的，那么您只有两种解决方案。

[(ab, bc, cd), (ab, ac, ad)]

最后，使用itertools.product 形成分区解决方案的所有组合。

这会让你感动吗？

---

根据 OP 的评论更新

节点和边不可互换。让我们考虑一个 5 节点系统 QWERT。这有 10 个不同的分区 - 每个分区必须是 3-2 拆分。

QW ERT WE QRT QE WRT WR QET QR 湿 WT QER QT WER ER QWT RT QWE ET QWR

每一个都将遵循解决方案的相同配置。为了说明，考虑第一个：QW |急诊室。 QW 只有一个扳手：边列表（一个）[(Q,W)]。 ERT 有三个：[(E,R), (R,T)], [(E,R), (E,T)], [(E,T), (R,T)]。您的生成树集合是这两个列表中的itertools.product。