Dijkstra 和 Prim 算法答案

【问题标题】：Dijkstra's and Prim's algorithmDijkstra 和 Prim 算法
【发布时间】：2017-05-04 17:13:30
【问题描述】：

正如我所见，Dijkstra 和 Prim 的算法几乎相同。这是来自维基百科的伪代码，我将解释我的困惑。

1  function Dijkstra(Graph, source):
2      dist[source] ← 0                                    // Initialization
3
4      create vertex set Q
5
6      for each vertex v in Graph:           
7          if v ≠ source
8              dist[v] ← INFINITY                          // Unknown distance from source to v
9              prev[v] ← UNDEFINED                         // Predecessor of v
10
11         Q.add_with_priority(v, dist[v])
12
13
14     while Q is not empty:                              // The main loop
15         u ← Q.extract_min()                            // Remove and return best vertex
16         for each neighbor v of u:                      // only v that is still in Q
17             alt ← dist[u] + length(u, v) 
18             if alt < dist[v]
19                 dist[v] ← alt
20                 prev[v] ← u
21                 Q.decrease_priority(v, alt)
22
23     return dist[], prev[]

Prim的算法差不多，为方便起见，我就改一下从第14行开始的循环

14     while Q is not empty:                              
15         u ← Q.extract_min()                            
16         for each neighbor v of u:                      
17             if v ∈ Q and length(u, v) < cost[v]
18                 cost[v] ← length(u, v)
19                 prev[v] ← u
20                 Q.decrease_priority(v, length(u, v))

有两个变化，第一个是将dist[] 替换为cost[]，据我了解，这与算法解决不同问题的事实有关。第二个对我来说是模糊的，即 Dijkstra 算法中没有if v ∈ Q 这个条件。我真的不明白为什么我们可以返回 Prim 算法中的访问顶点集，而这在 Dijkstra 算法中不会发生。

【问题讨论】：

if x ∈ Q x 是什么？
打印错误，将x 替换为v

标签： algorithm graph-algorithm dijkstra

【解决方案1】：

在 Dijkstra 中，如果 alt 小于 dist[v] 的当前值，我们计算 alt ← dist[u] + length(u, v) 并将 dist[v] 设置为 alt。如果我们通过u，alt 表示从起始节点到v 的距离。但是u是刚刚从Q中取出的节点，所以它与起始节点的距离大于等于之前从Q中取出的所有其他节点。因为 Dijkstra 要求所有边的权重都是非负的，所以如果 v 不在 Q 中，则保证 alt 大于或等于 dist[v]，因为它是 dist[u] 和 length(u, v) 的总和，并且所以它不会通过if 中的条件。换句话说，如果v 不在Q 中，则u 将相对于我们已经拥有的v 的路径绕道而行。

【讨论】：

【解决方案2】：

不确定我的想法是否正确。对于 Dijkstra 和 prims 算法，我们应该只处理 Q 中的顶点。对于 Dijkstra 算法，伪代码可能不会显式检查当前顶点是否仍在 Q 中，但它注释为“只有 v 仍在 Q 中”

 for each neighbor v of u:                      // only v that is still in Q

我认为它们与 x ∈ Q 的含义相同

17             if x ∈ Q and length(u, v) < cost[v]

如果这里的x代表第16行的“v”。

【讨论】：

【解决方案3】：

Dijkstra 和 Prim 算法非常相似。

区别在于：

Prim 算法：通过无向边最接近最小生成树的顶点
Dijsktra 算法：通过有向路径最接近源的顶点

来源：Sedgewick & Wayne 的算法

【讨论】：